O pêndulo composto

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Um pêndulo composto consiste de um corpo rígido, de massa que pode girar livremente em torno de um eixo sob a ação da gravidade. Escolhamos o eixo como sendo o eixo de rotação. Seja o centro de massa do corpo rígido. Escolhamos o plano como sendo aquele que é perpendicular ao eixo de rotação, que escolhemos como o eixo e que contém o centro de massa Seja o ponto sobre o eixo e que também está contido no plano Seja a distância que vai desde o ponto até o centro de massa Seja o momento de inércia do corpo rígido com relação ao eixo de rotação De acordo com a postagem Rotação em torno de um eixo, o torque sobre o corpo rígido, com relação ao ponto que vou escolher como a origem do sistema de coordenadas, é dado por

onde o ângulo é aquele feito entre a vertical e a linha que passa pelos pontos e O eixo de giração com relação ao ponto é definido como

Logo,

Se o corpo rígido for pensado, sem perda de generalidade, como constituído de partículas de massas com então, o torque total também pode ser escrito como

onde é o vetor posição da -ésima partícula. Pela segunda lei de Newton, a força total sobre a -ésima partícula é dada por

onde é a força externa e é a força interna. A força externa, no caso do pêndulo, é apenas o peso e, portanto,

onde é o vetor aceleração da gravidade no local onde o pêndulo está. A força interna, no entanto, depende das outras partículas do corpo rígido e, como na postagem Conservação da quantidade de movimento angular, vou supor que não exerce torque. Com essas observações e hipóteses, o torque total pode ser reescrito como

Lembrando que o vetor posição do centro de massa é dado por

concluímos que

Veja que o torque total sobre o pêndulo composto é calculado como se toda a massa do corpo rígido estivesse no centro de massa. Note também que, pela escolha da origem no ponto

Como aponta para baixo, segue que

Não se esqueça de que o eixo que escolhemos aqui é horizontal, já que é o eixo de rotação. O sinal negativo é necessário porque o torque que o peso exerce é contrário ao aumento do ângulo Então, agora que temos outra expressão para o torque, podemos escrever a equação de movimento para a variável angular

isto é,

que é a mesma equação para um pêndulo simples. Um pêndulo simples equivalente a este pêndulo composto, no tocante à equação de movimento, é obtido tomando-se o comprimento de sua haste de suspensão como

Assim, considerando novamente o caso de nosso pêndulo composto, podemos definir um ponto a uma distância do ponto ao longo da linha definida por e o centro de massa O ponto é chamado de centro de oscilação.

Seja

isto é,

ou seja,

O teorema de Huygens & Steiner estabelece que

onde é o momento de inércia do pêndulo composto, calculado com relação a um eixo de rotação paralelo ao eixo Com a definição do raio de giração com relação ao eixo que passa por temos

e, portanto,

implica em

isto é,

Com esse resultado, a Eq. (1) fica

A simetria entre e indica que se tivéssemos pendurado o pêndulo composto pelo ponto então o centro de oscilação estaria em

O livro do Symon [1] menciona uma maneira de medir a aceleração da gravidade usando um pêndulo composto. Acho que a ideia é mais ou menos assim: você pega o pêndulo e o deixa em repouso, pendurado por Então, você traça, no corpo do pêndulo, a reta vertical que passa por Aí você dá um pequeno peteleco que faz com que o pêndulo oscile com pequenas oscilações em torno do eixo e mede o período. Pronto, você sabe que esse período é dado por

mas você ainda não sabe nem nem Depois dessa determinação, você pode pendurar o pêndulo de vários pontos ao longo da reta que você traçou e ver onde é que ele vai ter o mesmo período de pequenas oscilações que em torno do ponto É claro que você deve sempre usar eixos paralelos ao inicial, eixo Com isso, agora você vai ter o valor de e, portanto, pode determinar o valor de Maneiro, não é?

O problema do taco de baseball

O livro do Symon [1] trata o problema em que um taco de baseball, sendo segurado no ponto rebate uma bola no ponto Para que a bolada não acabe transmitindo um tranco muito grande nas mãos do jogador, deve estar a uma distância de tal que

onde é a distância, ao longo do eixo de simetria do taco de baseball, entre o ponto e o centro de massa do taco, Para ver isso, vamos considerar uma bolada perpendicular ao eixo de simetria do taco e que o jogador, ao invés de imprimir uma tacada na bola, apenas segura o taco procurando mantê-lo fixo no ponto onde suas mãos estão, permitindo, no entanto, que gire em torno desse ponto Assim, a bola exerce uma força no ponto durante um certo tempo Analogamente, vai haver uma força aplicada no ponto pelo jogador, para poder manter esse ponto fixo. A variação do momentum do taco é dada por

onde usei a segunda lei de Newton. Mas,

onde é a velocidade do centro de massa. Colocando a origem no ponto como especificado acima, e sabendo, por hipótese, que o ponto é mantido fixo pelo jogador, podemos escrever

já que a distância entre e o centro de massa, é Portanto,

Assim,

isto é,

ou seja,

O torque com relação ao ponto é dado por

isto é,

já que é a distância entre e Por hipótese, a força é perpendicular ao eixo de simetria do taco e, portanto, é perpendicular ao vetor Logo,

já que o versor é perpendicular a Podemos então multiplicar escalarmente a Eq. (2) por e obter

Da Eq. (3) segue que

e, portanto,

que pode ser substituída na Eq. (4) dando

A condição para que o impacto nas mãos do jogador seja nulo perpendicularmente ao eixo de simetria do taco é que

Essa condição é equivalente a termos

e, supondo caso contrário a presente análise não teria sentido, temos

isto é,

ou seja,

quod erat demonstrandum!

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Sonata No. 2 in B-flat minor Op. 35 (Scherzo) de Frédéric Chopin, por Ken Sasaki

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