O oscilador harmônico

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Você sabia que o oscilador harmônico é obíquo na Física? ❓ Por exemplo, a Eletricidade e o Magnetismo, clássicos, foram colocados juntos em uma bela teoria unificada por Maxwell, no século XIX. Posteriormente, vários cientistas, por exemplo, Max Born, Pascual Jordan, Werner Heisenberg e, principalmente, Paul Dirac, quantizaram o Eletromagnetismo, obtendo uma nova teoria chamada Eletrodinâmica Quântica. Nessa teoria, mesmo no vácuo, por exemplo, há modos de vibração do campo eletromagnético. Esses modos de vibração do campo são descritos por osciladores harmônicos. Há infinitos deles no vazio! 😯 Quando há luz no espaço vazio, há fótons, ou seja, há excitação dos modos de vibração dos osciladores harmônicos que compõem o campo eletromagnético quântico.

Para entender tudo isso você precisa começar pelo começo: o sistema massa-mola. 🙄 Eu nem sequer vou desenhar uma figura porque imagino que esse sistema já seja muito familiar para você. O importante é que a força sobre a massa que desliza horizontalmente ao longo do eixo sem atrito, presa em uma extremidade por uma mola de massa desprezível e constante elástica é a força restauradora, proporcional ao deslocamento da mola:

Note que, por conveniência, escolhemos a origem do sistema de coordenadas exatamente no ponto em que a mola não exerce força sobre a massa Usando a segunda lei de Newton, a força ao longo do eixo é dada pela massa multiplicada pela aceleração, isto é,

Então, igualando essa equação com a componente da força restauradora acima, vem

Essa é a equação de movimento para o oscilador harmônico em sua forma mais simples. Essa mesma equação pode ser escrita assim:

Queremos resolver essa equação. Mas o que significa isso? Ora, devemos encontrar tal que essa função satisfaça a equação acima. Essa equação diz que a segunda derivada com relação ao tempo da função que procuramos, é proporcional à própria função É fácil adivinhar que funções podem satisfazer isso. A exponencial satisfaz? 💡 Não, pois a constante de proporcionalidade acima é negativa: 🙁

Se você não entendeu ou não acredita, façamos a conta. Tentemos

onde e são constantes a serem determinadas. Então, é fácil ver que

Devemos impor que

Logo,

Mas quando o quadrado de um número real pode ser negativo? Jamais! ❗

Tentemos outras funções. Que tal o seno? A derivada segunda de um seno dá proporcional a ele mesmo, com um sinal de menos. Então, tentemos

Assim,

Agora, sim! Impondo que

resulta o valor de

Logo,

implicando que

é uma solução da equação do oscilador harmônico, sem importar o valor da constante Aliás, como é qualquer, vou incorporar o sinal como parte da definição da constante arbitrária e escrever, simplesmente,

Mas essa não é a única função não nula que satisfaz a equação do oscilador harmônico. A função

onde é outra constante arbitrária, também satisfaz a equação do oscilador harmônico. Quer ver? Vamos lá:

que é a equação do oscilador harmônico!

Com qual solução ficamos, então? ou Na dúvida, fiquemos com as duas! Como? Simples: tomemos a soma de e como solução. Eu posso fazer isso? Claro que sim: a equação do oscilador harmônico é linear. Deixe isso sobre linearidade de lado, por enquanto, e vamos ver se é mesmo possível somar as duas soluções e ter outra solução. Seja

Então,

isto é,

Viu? Não falei? 😎

Note que o cosseno não é uma função proporcional ao seno ou vice-versa. Assim, dizemos que o seno e o cosseno são linearmente independentes. Note também que a equação diferencial envolve uma derivada segunda com relação ao tempo. Isso quer dizer que há duas integrais para fazer, ao invés de uma só, como ocorre quando a equação é de primeira ordem, ou seja, quando envolve apenas a derivada primeira com relação ao tempo. Para cada integração, aparece, como você já sabe, uma constante arbitrária. Em duas integrações, portanto, devem aparecer duas constantes arbitrárias. Assim, nossas constantes e acima são arbitrárias e, portanto, temos uma solução com duas constantes arbitrárias. Logo, temos a solução geral! Sim! Não precisamos tentar achar mais nenhuma outra função que satisfaça a equação do oscilador harmônico, pois já temos uma solução geral. Qualquer outra, se existisse, poderia ser somada à solução que já temos e apareceriam três constantes arbitrárias. Mas uma equação diferencial de segunda ordem somente pode resultar em duas constantes arbitrárias e, portanto, chegaríamos a uma contradição. Isso tudo é coisa de matemáticos e vamos deixar para eles argumentarem esse tipo de prova. Vamos acreditar nessa conversa por enquanto. 😉

A solução geral da equação do oscilador harmônico fica, portanto,

onde, por conveniência, definimos a constate

Nesse momento alguém poderia levantar-se e gritar que 😈

também é solução e também tem duas constantes arbitrárias: e E aí? Como é que eu fico? 😕 Para essa questão eu tenho saída: 😉 as duas soluções são idênticas! Isto é, eu posso expressar as constantes e em termos de e e vice-versa. É fácil ver isso; basta escrevermos:

Então,

Pronto; basta identificarmos as respectivas constantes arbitrárias:

e

Outra maneira de reescrever a mesma solução geral é

onde agora as constantes e são arbitrárias. Basta tomarmos

e

e teremos

isto é,

Mas,

e

Logo,

Temos, portanto, três formas idênticas de expressar a solução geral da equação de movimento do oscilador harmônico simples:

e

É o problema específico que estaremos tratando que definirá a forma mais conveniente. 🙂

😎

Música desta postagem: Etude in E-flat major Op. 10 No. 11 de Frédéric Chopin, por Eric Levine

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6 Comments for O oscilador harmônico

  1. Paulo Eduardo said,

    agosto 27, 2010 @ 8:06

    “Mas quando um número real pode ser negativo? Jamais!”

    Acho que você quis dizer: “Mas quando um número real elevado ao quadrado pode ser negativo? Jamais!”

  2. reginaldo said,

    agosto 27, 2010 @ 9:25

    Olá Paulo,
    Oops! 😳
    Grato deveras pelo seu comentário! Já corrigi a babada…

  3. samir said,

    dezembro 17, 2010 @ 21:11

    Muito bem explicado. Para mim, que estudo a distância, achei que ficou como uma aula presencial.

  4. reginaldo said,

    dezembro 20, 2010 @ 9:16

    Olá Samir,
    Grato deveras pelo seu comentário. Fico realmente feliz recebendo um elogio assim! Você é muito generoso e acabou de me dar um presentão de Natal. Grato deveras! O reconhecimento que você manifestou para comigo é inestimável! Valeu!

  5. Daniel Scalabrini said,

    abril 1, 2012 @ 12:00

    Sensacional! o texto está muito claro e informal sem perder o rigor!
    Parabéns pelo post.

  6. reginaldo said,

    abril 10, 2012 @ 9:27

    Olá Daniel,
    Grato deveras pelo seu comentário, pelo elogio e pelos parabéns! Valeu mesmo!

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