O movimento browniano geométrico

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O modelo padrão da dinâmica do preço de um ativo financeiro é o chamado movimento Browniano geométrico. 😕 Como explico brevemente em uma postagem anterior, o modelo de Bachelier não é perfeito para descrever a dinâmica de preços de um ativo financeiro. 🙁 Um problema com esse modelo é que prevê valores negativos de preços. Quando compramos um lote de ações, por exemplo, gastamos um certo montante para pagar por ele e pela corretagem. Se a empresa correspondente ficar devendo muito para seus credores, o valor das ações que comprarmos poderá chegar a zero, mas jamais teremos a responsabilidade de pagar pela dívida da empresa, ou seja, jamais as ações que comprarmos terão valor negativo. Isso é o que significa responsabilidade limitada do dono de ações. No entanto, o retorno diário poderá ser positivo ou negativo. Se o preço de fechamento de um ativo era ontem e hoje é então o retorno relativo de um dia fica:

que pode até ser expresso por uma porcentagem. Essa equação pode ainda ser escrita como:

WavesSem tsunamis aqui. Foto de Philipp Klinger

Como os preços são positivos (é muito raro o preço ser zero), podemos tomar o logaritmo de ambos os membros da equação acima:

Quando o retorno é bem pequeno, podemos escrever:

e, nesse caso,

Essa expressão, para retornos pequenos, sugere que uma variável interessante é dada pelo logaritmo do quociente entre os preços de fechamento:

Se o preço hoje tender a zero, tenderá a valores negativos imensos. Se o preço hoje tender a valores muito altos, também tenderá a valores positivos muito grandes. No caso contínuo, podemos definir a variável

onde é o preço no instante isto é,

e é o preço no instante O modelo padrão para a dinâmica de preços é obtido quando supomos que executa um movimento browniano unidimensional, caracterizado pelos parâmetros e Assim, a probabilidade de que a quantidade tenha o valor no instante é dada, como vimos, por

Como é, então, a probabilidade de que o preço, tenha o valor no instante

Aqui, um pouco mais de sofisticação matemática é necessária. A distribuição

não pode descrever a probabilidade no caso contínuo, mas a densidade de probabilidade de que a variável assuma um valor entre e no instante Isso é facilmente visto se tomarmos a integral da gaussiana:

Tivemos que multiplicar por para podermos “somar” as probabilidades de todos os possíveis eventos (valores reais positivos, negativos e zero) e obter Logo, a probabilidade é e é apenas a densidade de probabilidade de que a variável assuma um valor entre e no instante

Para cada valor de há um valor correspondente de de forma que a probabilidade de encontrarmos entre e no instante é dada por

onde

de acordo com a equação que define

Assim,

e

Logo,

Se definirmos a unidade de preços como sendo o valor , então, em termos dessa unidade, e

Mas eu prefiro deixar na formulação e escrever em termos de

Essa densidade de probabilidade é a que caracteriza o chamado movimento Browniano geométrico. As distribuições dos preços de ações e outros ativos financeiros muitas vezes são aproximadas pela função

Agora, calculemos o valor esperado do preço e sua variância segundo a distribuição do movimento browniano geométrico. Comecemos pelo valor esperado do preço no instante , dado que vale no instante

É importante observarmos que a notação que estamos usando indica a variável estocástica com letra maiúscula, como , e o valor que assume é denotado com a correspondente letra minúscula, como Para facilitar a integração, usemos a nova variável

Logo,

ou seja,

Assim, obtemos

isto é,

Podemos completar o quadrado que aparece no numerador do argumento da exponencial:

Portanto,

isto é,

ou seja,

Calculemos agora a variância do preço:

isto é,

Assim, como já temos o valor esperado do preço, agora só falta calcularmos o valor esperado do preço elevado ao quadrado:

Usando a mesma substituição de variável acima,

obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

e, portanto,

Assim, a variância fica

isto é,

Se, ao invés de escolher o tempo inicial como sendo zero, escolhermos o tempo inicial em poderemos escrever os valores esperados acima no instante final como

onde é o preço que ocorre, de fato, no instante inicial e

Na prática, podemos estimar os parâmetros e considerando que indexe os fechamentos dos pregões. Então, dado o pregão inicial em teremos os valores esperados acima para o pregão final

e

Podemos, por exemplo, tomar os preços nos fechamentos de pregões consecutivos e, então, temos

Nesse caso,

e

Como determinamos os parâmetros e Como já explicado em uma postagem anterior, a distribuição da variável estocástica com valores relacionados aos valores pela equação

é uma gaussiana com valor esperado e variância Logo, para o -ésimo pregão, temos:

e

onde, em analogia com a equação

escrevemos

Os parâmetros e não dependem, portanto, de ou seja, não dependem do pregão. Isso permite calculá-los através de uma análise estatística da série histórica dos pregões. Assim, conhecendo os fechamentos de pregões, calculamos:

e

O movimento browniano geométrico é uma primeira aproximação para a dinâmico do preço de um ativo financeiro. A realidade de como os preços de ativos evoluem no tempo é bem mais complexa do que esse modelo descreve. Os valores de e não são fixos ao longo do tempo. Além disso, a dinâmica da variância também é descrita, em alguns modelos mais sofisticados, como sendo estocástica. No entanto, temos que começar de algum lugar, não é mesmo? 😎

Música desta postagem: Fugue in B minor on a theme of Albinoni de Johann Sebastian Bach, por Chris Breemer

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

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