O movimento browniano geométrico

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O modelo padrão da dinâmica do preço de um ativo financeiro é o chamado movimento Browniano geométrico. 😕 Como explico brevemente em uma postagem anterior, o modelo de Bachelier não é perfeito para descrever a dinâmica de preços de um ativo financeiro. 🙁 Um problema com esse modelo é que prevê valores negativos de preços. Quando compramos um lote de ações, por exemplo, gastamos um certo montante para pagar por ele e pela corretagem. Se a empresa correspondente ficar devendo muito para seus credores, o valor das ações que comprarmos poderá chegar a zero, mas jamais teremos a responsabilidade de pagar pela dívida da empresa, ou seja, jamais as ações que comprarmos terão valor negativo. Isso é o que significa responsabilidade limitada do dono de ações. No entanto, o retorno diário poderá ser positivo ou negativo. Se o preço de fechamento de um ativo era ontem e hoje é então o retorno relativo de um dia fica:

que pode até ser expresso por uma porcentagem. Essa equação pode ainda ser escrita como:

WavesSem tsunamis aqui. Foto de Philipp Klinger

Como os preços são positivos (é muito raro o preço ser zero), podemos tomar o logaritmo de ambos os membros da equação acima:

Quando o retorno é bem pequeno, podemos escrever:

e, nesse caso,

Essa expressão, para retornos pequenos, sugere que uma variável interessante é dada pelo logaritmo do quociente entre os preços de fechamento:

Se o preço hoje tender a zero, tenderá a valores negativos imensos. Se o preço hoje tender a valores muito altos, também tenderá a valores positivos muito grandes. No caso contínuo, podemos definir a variável

onde é o preço no instante isto é,

e é o preço no instante O modelo padrão para a dinâmica de preços é obtido quando supomos que executa um movimento browniano unidimensional, caracterizado pelos parâmetros e Assim, a probabilidade de que a quantidade tenha o valor no instante é dada, como vimos, por

Como é, então, a probabilidade de que o preço, tenha o valor no instante

Aqui, um pouco mais de sofisticação matemática é necessária. A distribuição

não pode descrever a probabilidade no caso contínuo, mas a densidade de probabilidade de que a variável assuma um valor entre e no instante Isso é facilmente visto se tomarmos a integral da gaussiana:

Tivemos que multiplicar por para podermos “somar” as probabilidades de todos os possíveis eventos (valores reais positivos, negativos e zero) e obter Logo, a probabilidade é e é apenas a densidade de probabilidade de que a variável assuma um valor entre e no instante

Para cada valor de há um valor correspondente de de forma que a probabilidade de encontrarmos entre e no instante é dada por

onde

de acordo com a equação que define

Assim,

e

Logo,

Se definirmos a unidade de preços como sendo o valor , então, em termos dessa unidade, e

Mas eu prefiro deixar na formulação e escrever em termos de

Essa densidade de probabilidade é a que caracteriza o chamado movimento Browniano geométrico. As distribuições dos preços de ações e outros ativos financeiros muitas vezes são aproximadas pela função

Agora, calculemos o valor esperado do preço e sua variância segundo a distribuição do movimento browniano geométrico. Comecemos pelo valor esperado do preço no instante , dado que vale no instante

É importante observarmos que a notação que estamos usando indica a variável estocástica com letra maiúscula, como , e o valor que assume é denotado com a correspondente letra minúscula, como Para facilitar a integração, usemos a nova variável

Logo,

ou seja,

Assim, obtemos

isto é,

Podemos completar o quadrado que aparece no numerador do argumento da exponencial:

Portanto,

isto é,

ou seja,

Calculemos agora a variância do preço:

isto é,

Assim, como já temos o valor esperado do preço, agora só falta calcularmos o valor esperado do preço elevado ao quadrado:

Usando a mesma substituição de variável acima,

obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

e, portanto,

Assim, a variância fica

isto é,

Se, ao invés de escolher o tempo inicial como sendo zero, escolhermos o tempo inicial em poderemos escrever os valores esperados acima no instante final como

onde é o preço que ocorre, de fato, no instante inicial e

Na prática, podemos estimar os parâmetros e considerando que indexe os fechamentos dos pregões. Então, dado o pregão inicial em teremos os valores esperados acima para o pregão final

e

Podemos, por exemplo, tomar os preços nos fechamentos de pregões consecutivos e, então, temos

Nesse caso,

e

Como determinamos os parâmetros e Como já explicado em uma postagem anterior, a distribuição da variável estocástica com valores relacionados aos valores pela equação

é uma gaussiana com valor esperado e variância Logo, para o -ésimo pregão, temos:

e

onde, em analogia com a equação

escrevemos

Os parâmetros e não dependem, portanto, de ou seja, não dependem do pregão. Isso permite calculá-los através de uma análise estatística da série histórica dos pregões. Assim, conhecendo os fechamentos de pregões, calculamos:

e

O movimento browniano geométrico é uma primeira aproximação para a dinâmico do preço de um ativo financeiro. A realidade de como os preços de ativos evoluem no tempo é bem mais complexa do que esse modelo descreve. Os valores de e não são fixos ao longo do tempo. Além disso, a dinâmica da variância também é descrita, em alguns modelos mais sofisticados, como sendo estocástica. No entanto, temos que começar de algum lugar, não é mesmo? 😎

Música desta postagem: Fugue in B minor on a theme of Albinoni de Johann Sebastian Bach, por Chris Breemer

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

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2 respostas para “O movimento browniano geométrico”

  1. Olá, Érico!
    Grato deveras pelo seu comentário! Infelizmente, eu não sei lhe informar todas as referências que foram necessárias para eu poder ter composto a postagem. Foram várias referências, umas de matemática financeira, outras foram artigos científicos, outras coisas foram livros históricos e, depois de ter lido um bocado, teve um processo em que essas ideias foram assimiladas, analisadas, digeridas e digitadas por mim. E já faz tanto tempo que eu realmente não conseguiria reconstituir nem as referências, nem a ordem com que eu as usei. Mas, sem dúvida, se você usar o Google, digitar movimento browniano geométrico, provavelmente encontrará um número suficiente de referências para comparar com o texto que escrevi. A única coisa que fiz foi resumir tudo para que justamente você não precisasse ter essa trabalheira toda… Mas, boa sorte com sua pesquisa! Material não falta!
    Valeu!
    reginaldo

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