O modelo harmônico de Drude-Lorentz

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O modelo de Drude-Lorentz para a matéria é uma simplificação. Supomos um núcleo fixo e um elétron preso harmonicamente ao núcleo. O modelo de Drude trata de um gás de elétrons na banda de condução, enquanto que o de Lorentz trata o caso de elétrons harmonicamente ligados aos seus respectivos átomos. Como a presente formulação pode descrever ambos os casos, é chamada de modelo de Drude-Lorentz. Além disso, também supomos que o elétron sofra uma força de fricção proporcional à sua velocidade. De acordo com a Segunda Lei de Newton, na presença de um campo eletromagnético a derivada temporal do momentum linear do elétron é igual à força de Lorentz, somada à força harmônica que prende o elétron ao núcleo e à força dissipativa proporcional à velocidade do elétron.

Sunset
Creative Commons License photo credit: etatuni13

Assim, a equação de movimento do elétron, considerando um movimento não relativístico, é dada por

no CGS, ou

no MKS, onde a carga eletrônica é dada por , é uma constante positiva e é a frequência natural de oscilação do elétron em torno do núcleo, de acordo com o presente modelo. Como essa equação de movimento é linear em podemos considerar sua versão complexa, escrevendo

onde

e

Aqui, desprezamos a força magnética por considerarmos o valor absoluto da velocidade do elétron muito menor do que o módulo da velocidade da luz. Em outras palavras, se compararmos as magnitudes das forças magnética e elétrica, teremos

no CGS, ou

no MKS, e, como para uma onda plana, por exemplo,

tanto no CGS como no MKS, segue que, no vácuo,

no CGS, ou

no MKS, pois

e, portanto,

no CGS, ou

no MKS. Com isso,

no CGS, ou

no MKS, e concluímos que

no CGS, ou

no MKS, para um elétron não relativístico.

Agora suponhamos que uma onda plana monocromática incida sobre o átomo. A onda pode ser representada por seu campo elétrico complexo como

Para frequências ópticas, da ordem de Hz, e para ,

Logo,

é uma boa aproximação para frequências ópticas. Com essa aproximação e ignorando qualquer efeito transiente, um ansatz para a equação

pode ser escrito como

e, substituindo, dá

ou seja,

Com isso, a solução fica

O momento dipolar elétrico do elétron é dado por

Com a solução obtida acima, temos

Se, ao invés de um átomo com um só elétron, o material for feito de moléculas com mais do que um elétron, então, se houver elétrons do tipo por molécula, o momento dipolar elétrico induzido na molécula ficará

Os elétrons, claramente, são todos iguais individualmente. Referimo-nos acima a elétrons do tipo para indicar que esses elétrons têm, na molécula, a mesma frequência e o mesmo coeficiente de dissipação . Supondo que haja moléculas por unidade de volume, a polarização do meio pode ser escrita como

Notemos que essa polarização não é proporcional ao campo elétrico, diferentemente do caso eletrostático. Há uma defasagem na polarização com relação ao campo elétrico aplicado, implicando a existência de um atraso para a indução de polarização no meio material. Podemos escrever

onde definimos

e

Assim,

supondo que .

😎

Música desta postagem: The Dreamer de Michael Schütz, por Anne Riegler

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF no CGS

Uma versão em PDF no MKS

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12 Comments for O modelo harmônico de Drude-Lorentz

  1. » A dispersão normal e a dispersão anômala | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 18, 2010 @ 21:41

    […] estudamos o modelo de Drude-Lorentz, vimos que a polarização não é proporcional ao campo elétrico, nesse modelo. No entanto, […]

  2. » Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 31, 2010 @ 17:31

    […] análise do modelo de Drude-Lorentz segue que a polarização em um meio dispersivo não é proporcional ao campo elétrico. No […]

  3. » Frequência de Plasma | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    julho 5, 2010 @ 17:47

    […] modelo de dispersão da luz em meios materiais de Drude-Lorentz, definimos, então como uma mera conveniência, a chamada frequência de […]

  4. José Victor said,

    abril 7, 2011 @ 6:21

    Olá,

    Bela dedução. Não conhecia esse modelo. E não vejo muitas discussões a respeito. Poderia:

    1- Indicar alguma literatura que trate do assunto e que, inclusive agregue resultados esperimentais, etc?

    Faço,ainda, os sequintes questionamentos:

    1-Foi considerado um eletron não relativístico. Como se, em algum outro átomo, algum eletron fosse relativístico. Gostaria de algum esclarecimento sobre isto.

    2-Atualmente, este modelo de Drude-Lorentz ainda é válido? Como está a relação dados teóricos(extraídos da equação que personifica o modelo) e os dados experimentais de validação desse modelo?

  5. reginaldo said,

    abril 8, 2011 @ 14:56

    Olá José Victor,
    Grato deveras pelas suas palavras de estímulo. Vamos ver seus itens um a um:
    1 – Só para dar uma ideia sobre como esse tipo de modelo ainda é útil, veja Technology Trends: Overcoming the Multi-wavelength FDTD Challenge — ENABLING BROADBAND DESIGN THROUGH NEW APPROACHES TO MATERIAL MODELING;
    Quanto aos questionamentos adicionais:
    1 – Digo que o elétron é não relativístico porque, tipicamente, estamos falando de matéria neutra e, nesse caso, os elétrons ativos opticamente são os das últimas camadas atômicas, sendo, portanto, não relativísticos. Simplesmente disse que o elétron é não relativístico para justificar que a força magnética pode ser desprezada com segurança;
    2 – Sim, o modelo de Drude-Lorentz é válido ainda. Como lhe disse, basta checar o artigo Technology Trends: Overcoming the Multi-wavelength FDTD Challenge — ENABLING BROADBAND DESIGN THROUGH NEW APPROACHES TO MATERIAL MODELING. Uma comparação com dados experimentais está na Fig. 2 desse artigo para silício e ouro. Espero que essas respostas ajudem.

    Fig. 2 do artigo citado acima
    Fig. 2 do artigo citado acima
  6. José Victor said,

    abril 8, 2011 @ 19:11

    Perfeito.

    Muito obrigado.

  7. reginaldo said,

    abril 11, 2011 @ 8:43

    Olá José Victor,
    Não há de quê.

  8. Leandro said,

    junho 10, 2011 @ 17:04

    Olá professor, antes de mais nada, post muito interessante e bem explicado!

    Gostaria de saber se conhece algum trabalho no qual se generaliza o modelo de Drude-Lorentz introduzindo alguma espécie de teorema de flutuação-dissipação, que até mesmo poderia relacionar um termo de dissipação não-local e uma fonte de ruído colorido.

    Até mais!

  9. reginaldo said,

    junho 13, 2011 @ 9:35

    Olá Leandro,
    Grato deveras pelo comentário e pelas palavras de estímulo! Valeu!
    Quanto à sua pergunta, se conheço algum trabalho associando o modelo de Drude e Lorentz com o teorema de flutuação-dissipação, conheço este: Quantum oscillator in a blackbody radiation field II. Direct calculation of the energy using the fluctuation-dissipation theorem. Acho que é um artigo bem didático e que talvez possa ajudar você.

  10. João Pedro Sussel Bertogna said,

    outubro 11, 2016 @ 19:56

    Professor, na equação para \vec{P} quando acrescentamos o fator n_{k} e N não ocorrem problemas de unidade? Pois nk é número de elétrons por molécula, e N número de moléculas por volume, assim, N.n_{k} é número de elétrons por volume. Assim P não se tornaria uma espécie de densidade de momento de dipolo? Não sei se perdi algo.

  11. João Pedro Sussel Bertogna said,

    outubro 11, 2016 @ 20:39

    Já vi o que eu perdi kkkk

  12. reginaldo said,

    outubro 24, 2016 @ 16:44

    Oi João,
    É exatamente o que a polarização significa: densidade dipolar elétrica! Grato pelo comentário! Valeu!

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