O fio de prumo e a vertical local

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Você já deve ter visto um fio de prumo: um pesinho preso na extremidade de um barbante ou fio de náilon. Em construções, o assentamento dos tijolos nas paredes deve ser guiado pelo fio de prumo para as paredes ficarem verticais. Então, um fio de prumo serve como um pêndulo na posição de equilíbrio e indica a direção da vertical no local. Essa vertical nem sempre passa pelo centro da Terra. Para ver isso, note que a Terra gira em torno de seu eixo de rotação, que vou batizar de eixo Seja o vetor velocidade angular de rotação da Terra em torno do eixo Então,

Em um sistema de coordenadas fixo à Terra, isto é, que gira em torno do eixo com velocidade angular dada pela Eq. (1), há a força centrífuga agindo sobre o pesinho do fio de prumo. Nesse sistema de coordenadas, a força centrífuga empurra o pesinho para longe do eixo com uma aceleração centrífuga de módulo dado por

onde é a distância do pesinho até o eixo de rotação da Terra. Se o ângulo da latitude no local do fio de prumo é então

onde é o raio da Terra, que estamos supondo como esférica. Aqui, na cidade de São Carlos, SP, a latitude é aproximadamente Então,

Estou mantendo casas decimais na Eq. (4) para poder reproduzir o ângulo de sem ambiguidade, pois enquanto que por exemplo, indicando a necessidade de pelo menos casas decimais na Eq. (4) para poder definir as casas decimais da latitute dada, ao tomarmos o inverso do cosseno. O raio da Terra é, aproximadamente,

Substituindo as Eqs. (4) e (5) na Eq. (3), obtemos

A Terra dá uma volta em torno de seu eixo em horas, minutos e segundos e, portanto, seu período é dado por

Então, a frequência angular da Terra é obtida dividindo radianos pela Eq. (7):

e, portanto,

Substituindo as Eqs. (6) e (8) na Eq. (2), obtemos

A aceleração da gravidade padrão é definida por

Comparando as Eqs. (9) e (10), obtemos

Com relação à direção da vertical, o que temos a fazer é somar os vetores da aceleração centrífuga com o da aceleração da gravidade; a direção da resultante dessa soma é a direção da vertical. A aceleração da gravidade aponta para o centro da Terra. A aceleração centrífuga aponta perpendicularmente ao eixo em direção ao espaço, longe da Terra (o adjetivo “centrífugo” refere-se a algo que que foge do centro). Esses dois vetores não são paralelos e, portanto, formam um plano que gira junto com a superfície da Terra. Vou batizar esse plano de plano já que o eixo obviamente, está contido nesse plano formado pelos vetores das duas acelerações. Então, dada a latitude de São Carlos, SP, de podemos escrever o vetor aceleração da gravidade como

O vetor aceleração centrífuga é dado por

A resultante da soma das Eqs. (12) e (13) dá a aceleração da gravidade efetiva local:

Substituindo as Eqs. (9) e (10) na Eq. (14), obtemos

isto é,

A magnitude de é dada por

O versor que aponta na direção de e que é paralelo à vertical local é dado por

Substituindo as Eqs. (15) e (16) na Eq. (17), obtemos

A direção vertical local não passa pelo centro da Terra. A que distância do centro da Terra passa a vertical? A reta que passa pelo centro da Terra define a direção de Essa direção é obtida pela divisão da Eq. (12) por isto é,

Note as minúsculas diferenças entre as respectivas componentes dos versores das Eqs. (18) e (19). Um ponto no plano na superfície da Terra, tem o vetor posição dado por

Um ponto qualquer, com vetor posição pertencente à reta que passa pelo ponto da Eq. (20) e tem a direção da vertical é dado por

onde é um parâmetro real. A Eq. (21) é a equação paramétrica da reta vertical que passa pelo ponto com parâmetro Substituindo as Eqs. (18) e (20) na Eq. (21), obtemos

isto é,

Sobre o eixo o valor de deve ser tal que anule a componente ao longo do versor da Eq. (22), isto é,

Usando as Eqs. (4) e (5), obtemos

Substituindo a Eq. (23) na Eq. (22), obtemos

isto é,

ou seja,

Assim, a vertical de São Carlos, SP, passa km acima do centro da Terra, quando cruza seu eixo de rotação. Uma aproximação em que a vertical passa pelo centro da Terra dá um erro relativo de



😎

Música desta postagem: Nocturne in B-flat minor Op. 9 No. 1 de Frédéric Chopin, por Thorsten Hammer

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