O caso de volatilidade estocástica: indo além do modelo padrão

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Quando comecei a me interessar por econofísica, li o artigo Probability distribution of returns in the Heston model with stochastic volatility, de Adrian A. Dragulescu e Victor M. Yakovenko. Lá, esses autores estudaram o chamado modelo de Heston. Nesse modelo, a dinâmica do preço de uma ação é um processo estocástico descrito por

onde os subscritos indicam quantidades dependentes do tempo. Aqui, é constante, porém depende do tempo de forma estocástica:

onde

é a variância estocástica, e são duas constantes reais. A equação para a variância,

descreve o processo de Cox-Ingersoll- Ross, que é também conhecido como processo de Feller. Os processos de Wiener e são diferentes, mas correlacionados segundo a equação

onde é um processo de Wiener padrão independente de e é uma constante real.

Para resolver o modelo, é conveniente fazermos a substituição de variáveis:

Com isso, usando o lema de Ito e

obtemos

ou seja,

já que

O modelo de Heston é, portanto, descrito pelas equações:

e

Na postagem sobre a fórmula de Feynman e Kac, procuramos pelo valor esperado de uma função qualquer da variável estocástica. No presente modelo, temos duas variáveis estocásticas de interesse, e Aqui, no entanto, procuramos por uma densidade de probabilidade tal que:

seja o valor esperado da função arbitrária Analogamente ao que é feito na postagem sobre a fórmula de Feynman e Kac, temos

Usando o lema de Ito, calculemos o incremento de

Substituindo nessa expressão as equações

e

segue:

isto é,

Como

podemos escrever:

Assim,

No instante , suponhamos que

e

Como e são independentes, obtemos:

Logo, de maneira análoga ao que está feito na postagem sobre a fórmula de Feynman e Kac,

Com integrações por parte em e podemos escrever:

Como esse resultado deve ser idêntico à equação

para qualquer função segue a equação de Fokker-Planck ou equação avançada de Kolmogorov para o modelo de Heston:

A resolução dessa equação é feita no artigo Probability distribution of returns in the Heston model with stochastic volatility. Talvez, em outra ocasião, eu possa prosseguir desse ponto e calcular

😎

Música desta postagem: Klavierstücke Op. 118 (Intermezzo in A Minor) de Johannes Brahms, por Alfonso Bertazzi

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