O argumento da neutralidade de risco para obter a equação de Black e Scholes

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Aqui vou deduzir novamente a equação de Black e Scholes usando um argumento conhecido como o da neutralidade de risco. Então, considere que a dinâmica do preço da ação seja dada pelo movimento browniano geométrico:

com e constantes reais. Aqui, para facilitar a notação, estou usando, para o preço da ação,

e, para o processo de Wiener padrão,

The Bull
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O preço da opção de compra do tipo europeu deve depender do preço da ação e do tempo e, portanto, escrevemos

Usando o lema de Ito, obtemos

isto é,

já que

Apenas por analogia com a dinâmica estocástica da ação de preço podemos definir as funções:

e

Então, a equação para o preço da opção que acabamos de obter acima,

pode ser reescrita assim:

de forma análoga à equação do preço da ação. Note que, em princípio, e podem ser funções complicadas do preço da ação e do tempo.

Vamos montar uma carteira que não tenha perdas pela compra de ações e pela venda simultânea, a descoberto, de opções. O valor dessa carteira é dado por

Depois de decorrido um intervalo de tempo mas mantendo inalteradas as quantidades e de ações compradas e opções vendidas, respectivamente, obtemos:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

No entanto, supondo que o mercado seja tão eficiente que não seja possível haver oportunidades de lucro sem risco, impomos:

onde é a taxa de juros livre de risco. Lembre-se que já utilizamos esse argumento na postagem O princípio do hedging sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton. Assim, como vimos que

igualamos essas duas equações para a variação do valor da carteira hipotética e obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Mas lá em cima definimos as quantidades

e

cuja substituição em

leva ao seguinte resultado:

Multiplicando ambos os membros por resulta na equação:

isto é,

que é a equação de Black e Scholes.

Você notou que na equação de Black e Scholes não aparece ? É como se a única taxa de juros fosse isto é, a livre de risco. Veja também que, a expressão que define a função isto é,

pode ser escrita assim:

que é parecida, nessa forma, com a equação de Black e Scholes. Se dissermos que a única taxa de juros que entra na formulação é e, portanto, tomarmos

a equação

tornar-se-á a de Black e Scholes. Esse é o argumento da neutralidade de risco. Como o retorno esperado para a ação é dado em termos de mas essa grandeza não aparece na precificação da opção, então os investidores podem supor qualquer retorno esperado e, assim mesmo, chegar ao preço justo da opção. Todos os investidores, em princípio, podem montar uma carteira que elimina o risco da ação com a venda da quantidade certa de opções e isso possibilita a precificação das opções independentemente da percepção de risco de cada um. Não é impressionante? Veja, no entanto, que a precificação depende da volatilidade da ação.

😎

Música desta postagem: Scherzo in C minor Op. 14 de Clara Schumann, por Felipe Sarro

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