Número de casas decimais e de algarismos significativos

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A maneira que o resultado de uma medida é numericamente escrito contém informação a respeito da precisão da medida. É através do número de casas decimais e de algarismos significativos que entendemos o que a grafia de um número tem a dizer sobre a precisão com que a medição foi efetuada. Além de apresentar ilustrações numéricas desses fatos, aqui também descrevo as regras práticas para somar, subtrair, multiplicar e dividir valores com diferentes números de algarismos significativos e casas decimais.

Quando você mede o comprimento de algum objeto utilizando uma régua usual, daquelas de trinta centímetros, você consegue ler até o número de milímetros do objeto, mas tem dificultade para ler, com certeza, frações de milímetro. Por exemplo, com uma régua assim você pode medir um pequeno objeto e descobrir que seu comprimento tem cerca de cm ou mm. Eu digo que o comprimento é cerca de cm, e não cm exatamente, porque geralmente a nossa leitura é aproximada, isto é, escrevemos cm quando o tamanho do objeto fica próximo dessa marcação na régua, talvez um pouquinho mais ou um pouquinho menos do que essa marcação. Não há, em uma régua comum, mais subdivisões para frações de milímetro. Então, quando indicamos o comprimento do objeto escrevendo cm, já está implícito o fato de que o número é aproximado.

O significado, para alguém que lê, de cm é que o comprimento exato deve estar entre cm (inclusive) e cm (exclusive), isto é, o comprimento exato fica no intervalo, em centímetros, Assim, a expressão numérica de que um certo comprimento é escrito como cm quer dizer, na verdade, que o comprimento exato fica em um intervalo de possíveis valores, não sendo, portanto, determinado. Nesse caso, dizemos que há apenas dois algarismos significativos no valor escrito como cm.

Utilizando um instrumento com maior precisão, como um paquímetro, por exemplo, poderíamos obter uma casa decimal a mais no valor do comprimento do objeto acima. Por exemplo, poderíamos descobrir que o comprimento fica mais próximo de cm. Nesse caso, o significado dessa grafia é que o comprimento exato está entre os valores cm (inclusive) e cm (exclusive) e há três algarismos significativos nessa medida.

Suponha agora que temos dois comprimentos, de dois objetos diferentes, mas que foram medidos com instrumentos diferentes, um com precisão maior do que a do outro. Digamos também que os comprimentos assim obtidos são cm e cm. Somando ingenuamente esses dois valores, obtemos cm. Mas a soma desses comprimentos deve ter uma ou duas casas decimais? Ora, embora cm nos dê duas casas decimais, o número cm nos dá uma só. Então, nesse caso, a soma só pode ter duas casas decimais, pois a segunda casa depois da vírgula de cm é incerta e, somada com cm, que é o significado da segunda casa depois da vírgula de cm, dá um número incerto também. Logo, o que é significativo, para a soma, é cm, onde já arredondamos o resultado anterior, cm, para uma só casa decimal. O mesmo fazemos na subtração, isto é, tirando cm de cm dá, ingenuamente, cm, que, com arredeondamento para uma só casa decimal depois da vírgula, dá cm. Note que o arredondamento sempre é feito depois de todas as operações.

Para multiplicação, o número de algarismos significativos do produto resultante deve ser igual àquele do fator com menor número de algarismos significativos. Por exemplo, tomando cm multiplicado por cm dá, ingenuamente, cm Mas, uma vez que o fator com menor número de algarismos significativos é cm, então devemos arredondar o resultado ingênuo, cm para ter apenas dois algarismos significativos também. Para isso, arredondamos o resultado para cm

Na divisão, a regra é a mesma que na multiplicação, isto é, na divisão, o número de algarismos significativos do quociente resultante deve ser igual ao do numerador, se menor do que o do denominador, ou igual ao do denominador, se menor do que o do numerador. Assim, por exemplo, a divisão de cm por cm dá, ingenuamente, , adimensional, já que o cm do numerador é cancelado pelo cm do denominador. Como só podemos ter dois algarismos significativos, como em cm, que é o numerador neste caso, devemos arredondar o quociente resultante para

Você pode se perguntar de onde vêm as regras acima. Para responder isso, observe o que acontece com a incerteza no algarismo que deixamos de escrever em cada termo, no caso de uma soma. Por exemplo, como acima, em centímetros, quer dizer algo assim, aproximadamente,

onde é um algarismo incerto, mas que fica entre (inclusive) e (exclusive). Então, somando, esse resultado dá, em termos de potências de

isso quer dizer que o resultado pode estar entre os valores

(inclusive), quando e

(exclusive), quando A média aritmética desses dois resultados dá

que, arredondado para uma só casa decimal, dá como a regra diz. Não dá para escrever esse número com mais do que uma casa decimal, porque as distâncias à media são obtidas de e o que implica, como vimos acima, em incerteza na segunda casa decimal. É óbvio que na subtração acontece a mesma coisa.

Na multiplicação, temos, analogamente,

que dá

Note que o produto resultante dá um número entre

(inclusive), quando e

(exclusive), quando A média aritmética desses dois números é dada por

Aqui, as distâncias à média são obtidas de e dando, portanto, que já modificam a primeira casa decimal. Logo, não podemos deixar o resultado escrito com casa decimal alguma e escrevemos apenas Assim, na multiplicação, temos apenas dois algarismos significativos, conforme a regra explicada acima.

De maneira análoga, na divisão temos, por exemplo,

o que fornece

isto é,

(inclusive), quando e

isto é,

(exclusive), quando A média aritmética desses dois números dá

e as distâncias à média são e isto é, , que já modificam a segunda casa decimal. Logo, nosso resultado deve ser escrito com apenas uma casa decimal, ou seja, aproximamos a média acima por Como na multiplicação, temos apenas dois algarismos significativos na divisão também, de acordo com a regra mencionada no começo desta postagem.

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Música desta postagem: Improvisation No. 15 in C minor de Francis Poulenc, por Monica Alianello

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