Movimento de um projétil

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A equação de movimento para um projétil é muito simples quando desprezamos a resistência do ar, ventos, efeitos da pressão atmosférica com a altitude, forma do projétil, etc. Usando a segunda lei de Newton, basta igualarmos a força peso do projétil de massa à variação de momentum, assim:

onde estou supondo proximidade com o solo, considerado plano, onde a aceleração da gravidade pode ser aproximada pela constante e estou escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo apontando para cima. Supondo que o projétil não perde massa ao longo de sua trajetória, podemos escrever

isto é,

Tomando como conhecida a velocidade inicial, podemos integrar ambos os membros dessa equação e obter

Conhecendo a posição inicial, podemos integrar ambos os membros dessa equação também e obter a equação de movimento para o vetor posição do projétil:

Fácil, não é mesmo? Bico! 😉

Como um exemplo, vamos lançar o projétil da origem, de modo que

e vamos impor uma velocidade inicial dada no plano

onde e Com essas condições iniciais, podemos escrever o vetor posição do projétil como

Em coordenadas cartesianas, as componentes do vetor posição do projétil ficam

e

Logo, o movimento, neste caso particular, dar-se-á no plano e a equação da trajetória pode ser obtida substituindo

na equação para a coordenada Assim, obtemos

isto é,

que é a equação de uma parábola, com concavidade voltada para baixo, já que

por hipótese.

O projétil sai de e volta a quando

isto é,

que é o alcance do projétil. A altura máxima é atingida quando

isto é, para o valor de tal que

ou seja,

que é o ponto exatamente a meio alcance. A altura máxima é obtida substituindo esse valor de na expressão de

isto é,

ou seja,

Resistência do ar

O que acontece se houver resistência do ar? Uma maneira simples de incluir, fenomenologicamente, um termo de resistência do ar na equação de movimento é supor a existência de uma força que só apareça se o projétil estiver com velocidade relativa ao ar não nula. Uma força desse tipo, bem simples, é dada por

onde é uma constante e o sinal negativo implica que a força se opõe ao movimento do projétil, já que é uma resistência. Pela segunda lei de Newton, a força resultante é igual à variação do momentum do projétil e, nesse caso, a resultante de forças é a soma do peso do projétil com a resistência do ar. Logo, a equação de movimento escreve-se

isto é,

Como é que resolvemos essa equação? Não é difícil. Quer ver? Veja que também podemos escrever a equação acima assim:

e, portanto, como não depende de

Se integrarmos ambos os membros dessa equação, desde até um valor posterior qualquer obtemos

onde mudei a variável de integração para para não confundi-la com o limite superior que estou denotando por Assim, como a integral da derivada é fácil de fazer, essa equação dá

ou seja,

Mas, como a velocidade é dada por

segue que nada mais é do que a velocidade inicial do projétil:

Para simplificar a notação, vou definir:

e

Sendo assim, a equação diferencial que ainda falta resolver fica

isto é,

onde, como sempre, escrevemos

para simplificar a notação.

Olhe agora para o que há entre parênteses no primeiro membro da equação diferencial acima:

Viu? Tem a derivada de e tem que é uma constante, multiplicando Isso não lhe lembra de uma exponencial sendo derivada? Por exemplo, quanto dá a derivada do produto

Vamos calcular? Então, lá vai:

não é mesmo? Mas, como

segue que

ou seja, colocando a exponencial em evidência, obtemos

Então, dividindo ambos os membros dessa equação pela exponencial, ficamos com

Você se lembra que a equação que queremos resolver é assim:

não é mesmo? Então, agora podemos escrevê-la deste outro jeito:

É, ou não é?

Tudo o que temos a fazer agora é mais uma integração simples. Quer ver? Multiplicando tudo pela exponencial

Fazendo a integral de ambos os membros dessa equação, desde até um tempo posterior qualquer, obtemos

Agora, a integral da exponencial é fácil:

Resta fazermos a integral

que parece ser mais complicada. Tem outro truque que dá para usarmos aqui e que vai ser muitíssimo útil na sua vida acadêmica futura. Considere a seguinte integral:

onde é um parâmetro real. Faça a derivada parcial de ambos os membros dessa equação, com relação a e veja o que dá:

e

Então,

Igualando esses dois membros, vem

Duvida? Derive o segundo membro com relação a e veja o que é que dá:

isto é,

ou seja,

que tem a mesma forma funcional do integrando do primeiro membro.

Juntando isso tudo na nossa solução acima, isto é,

finalmente obtemos

onde já tomei

Veja que também podemos reescrever essa solução assim:

Dividindo tudo por vem

isto é,

Como um exemplo, vamos lançar o projétil da origem, de modo que

e vamos impor uma velocidade inicial dada no plano

onde e exatamente como fizemos acima, no caso sem resistência do ar. Com essas condições iniciais, podemos escrever o vetor posição do projétil como

isto é,

Em coordenadas cartesianas, as componentes do vetor posição do projétil ficam

e

Aqui também o movimento se dá no plano mas a equação da trajetória é mais complicada. Primeiro fazemos a substituição de

na expressão de obtendo

isto é,

Depois disso, utilizamos

para isolar assim:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Então, a equação

substituída na expressão para

que não é uma parábola!

Podemos recuperar o resultado anterior fazendo o limite em que vai a zero? Sim, não só podemos, como devemos! Tomemos a solução geral:

Note que se fizermos nessa expressão encontraremos divergências porque aparece nos denominadores. Temos que tomar cuidado para ver o caso em que não temos resistência do ar nessa equação. Portanto, vamos com calma! Quando é muito pequeno, podemos expandir a exponencial em série de potências e obter

Logo,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Assim,

que pode ser simplificado ainda mais:

isto é,

No limite em que vai a zero, essa equação torna-se

que é a mesma solução do caso sem resistência do ar!

😎

Música desta postagem: Prelude and Fugue No. 11 in F major de Johann Sebastian Bach, por Chris Breemer

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