Modelo binomial para precificação de opções

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Há uma outra forma de deduzir o preço de opções de compra do tipo europeu, seguindo as premissas de Black, Scholes e Merton, que é através de um modelo bem intuitivo chamado de modelo binomial. Esse modelo serve de base para a precificação de outros tipos de opções. Aqui, no entanto, estaremos vendo como obter o resultado já consagrado da fórmula de Black e Scholes.

Seja a probabilidade neutra ao risco de que o ativo suba e a de que desça. Seja o preço do ativo em um certo tempo. Seja o fator de subida de isto é, é o preço final se o preço do ativo subir. Seja o fator de descida, isto é, é o preço final se o preço do ativo descer. Seja o tamanho do passo temporal. Após um desses passos temporais, partindo do preço o ativo deve ter um valor esperado igual ao que seria obtido investindo o mesmo valor à taxa livre de risco, para termos a probabilidade neutra ao risco:

isto é,

ou seja,

twenties
Creative Commons License photo credit: TheTruthAbout

Seja,

e

Então, o valor esperado de é dado por

A variância de

Mas,

e, portanto,

Vamos supor que

Nesse caso,

e

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Temos:

isto é,

Mas,

e, portanto,

isto é,

Logo,

isto é,

ou seja,

Seja,

Assim,

A solução para fica, então,

Mas,

Para primeira ordem em segue

e

Logo,

isto é,

ou seja,

Como segue que

Black e Scholes

Seja o número de passos temporais e seja o número de subidas. No final do período de duração após esses passos temporais de duração cada um, o preço da ação será

O preço da opção no tempo será, portanto,

se houver subidas. O valor esperado da opção é dado por

onde é a probabilidade para subidas. Calculemos De quantas maneiras podem ocorrer subidas? Simples:

Qual a probabilidade para cada uma dessas maneiras? Simples também:

Portanto,

Logo,

No tempo inicial, o valor da opção deve ser o final descontado pela taxa livre de risco e o resultado dá

Deve haver um número a partir do qual

isto é,

ou seja,

Assim,

isto é,

Portanto,

isto é,

ou seja,

Para simplificar essa expressão, sejam

e

Então,

Note que, porque

segue que

Note também que

isto é,

Logo,

Com isso,

e, portanto,

Assim, podemos escrever:

Seja

Então,

Limite para tempo contínuo

Consideremos

com

onde

e

Também,

Mas,

e

Portanto,

Logo,

isto é,

Usando o teorema de de Moivre e Laplace,

obtemos

Agora,

e

Logo,

Seja

Então,

e, portanto,

Assim,

Mas,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Então, até primeira ordem em e fazendo obtemos

isto é,

No limite em que e ficamos com



😎

Música desta postagem: Waltz in B minor Op. 69 No. 2 de Frédéric Chopin, por Kaila Rochelle

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2 Comments for Modelo binomial para precificação de opções

  1. Luiz Augusto said,

    junho 7, 2012 @ 14:06

    Gostei desta demonstração. Ela evita sair do foco e ter que criar teoria sobre diferenciais estocásticas.

    Só fiquei com dúvida sobre a hipótese de q=1/d. Qual o impacto se isso não fosse respeitado?

    Obrigado Professor e parabéns pelo seu excelente trabalho.

    PS: Queria ter sido seu aluno na graduação hahahah

  2. reginaldo said,

    junho 15, 2012 @ 10:33

    Olá Luiz Augusto,
    Grato deveras pelo seu comentário! Que bom que você gostou da demonstração! Você tem razão, pois não precisamos de cálculo de Ito para fazer esses cálculos. A hipótese é para facilitar as coisas. Caso você tentasse outra coisa, também funcionaria, mas creio que daria mais trabalho. Mais uma vez agradeço seu entusiasmo com o assunto, inclusive pela gentileza de expressar que gostaria de ter sido meu estudante na graduação, e pelo elogio ao meu esforço de disponibilizar esse material para estudantes. Valeu mesmo!

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