Medida fraca e espalhamento – Parte 5: as equações de Lippmann e Schwinger

Na postagem Medida fraca e espalhamento Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger, apresentei a solução formal da equação de Schrödinger independente do tempo. Defini os estados “in” e “out” e mostrei que um pacote de ondas do tipo “in” tende ao correspondente pacote de estados de partícula livre no limite do passado remoto. Você não vai ter problemas para demonstrar, em analogia à postagem Medida fraca e espalhamento Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger, que um pacote de ondas do tipo “out” tende para o correposntente pacote de estados de partícula livre no limite do futuro remoto, isto é, quando o tempo se torna infinitamente positivo. É claro que esses limites fazem sentido apenas para a evolução temporal de pacotes de ondas, ou seja, de superposições de autoestados da hamiltoniana total, mas não para a evolução temporal desses autoestados individuais, que são estacionários. Esses estados são dados em termos da função de Green para a equação de Schrödinger independente do tempo; função esta que nada mais é do que uma representação do operador inverso àquele associado à equação de Schrödinger.

Nesta postagem, vou partir dos resultados da Parte 3 e escrever as equações de Lippmann e Schwinger, que envolvem operadores de uma forma independente da escolha de representações em termos de bases de autoestados de observáveis particulares. Estaremos adquirindo, assim, uma notação compacta muito conveniente para os raciocínios em teoria formal de colisões. A partir das equações de Lippmann e Schwinger, poderemos construir várias demonstrações matemáticas e definir as matrizes e cruciais no contexto geral da teoria quântica de espalhamento.

Você não vai ter dificuldade, após a leitura da Parte 3, de reconhecer o seguinte resultado:

Em essência, esta é a Eq. (39) da Parte 3, onde usamos as Eqs. (3), (6), (7) e (10) da Parte 3, além do fato de que

É bom lembrarmos também que

(cf. Eq. (19) da Parte 3). Para considerar ambos os estados “in” e “out”, basta reescrever a Eq. (1) em termos das duas possíveis funções de Green, definidas aqui com um sobrescrito

(cf. Eq. (28) da Parte 3).

A função de Green da Eq. (4) foi obtida através da Eq. (27) da Parte 3, isto é,

Veja que é fácil trocarmos a variável de integração, de para e a Eq. (5) torna-se

Mas,

isto é,

Substituindo a Eq. (7) na Eq. (6) dá

O resultado da integral da Eq. (8) não muda se desprezarmos o termo proporcional a aparecendo no denominador e se, ao invés de tomarmos tomarmos onde, para simplificar a notação, definimos

Com essas mudanças, podemos reescrever a Eq. (8) como

onde já substituímos a Eq. (3).

Note agora que

onde

(cf. Eq. (4) da Parte 3). A substituição da Eq. (11) de volta na Eq. (10) permite-nos escrever a função de Green assim:

ou seja,

onde usamos a completeza da base dos momenta, isto é,

onde é o operador identidade.

Das Eqs. (1), (4) e (14), vem

Como a Eq. (16) vale para todo bra segue que

Além disso,

onde definimos

onde representa o operador posição e utilizamos a completeza dos autoestados da posição. Substituindo a Eq. (19) na Eq. (17) dá

onde adicionei o sobrescrito “in” para indicar o tipo de autoestado obtido. A Eq. (20) é a chamada “equação de Lippmann e Schwinger” para estados tipo “in”. Tivéssemos começado com a expressão para estados tipo “out”, teríamos obtido

que é a outra equação de Lippmann e Schwinger.

É usual escrevermos as Eqs. (20) e (21) em termos dos autoestados da energia cinética, como explicado na postagem Autoestados da energia cinética, ao invés dos autoestados do momentum, e, portanto, usamos

nas Eqs. (20) e (21), obtendo

e

respectivamente, onde definimos

Para não confundir, vamos denotar os autoestados dados pelas Eqs. (23) e (24), respectivamente, por

e

Usando as Eqs. (26) e (27), podemos reescrever as respectivas Eqs. (23) e (24), compactamente, assim

Note também que, em virtude das Eqs. (22) e (25) e da discussão da postagem Autoestados da energia cinética, temos

com

onde definimos as variáveis angulares através das equações:

e

😎

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