Medida fraca e espalhamento – Parte 4: a amplitude de espalhamento

Em uma série de postagens, Medida fraca e espalhamento Parte 1: o estado inicial , Medida fraca e espalhamento Parte 2: a hamiltoniana de interação e Medida fraca e espalhamento Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger, tenho começado a descrever o espalhamento de um átomo por um campo indução magnética. Na Parte 3 apresentei os estados “in” e “out”. Nesta postagem, vou mostrar como, tomando a forma assintótica de um estado tipo “in”, definimos a chamada amplitude de espalhamento. É através dessa quantidade que a seção de choque diferencial de espalhamento é obtida. A seção de choque é a quantidade usualmente medida em experimentos colisionais.

No formalismo independente do tempo, precisamos tomar o ponto de observação ou detecção muito distante da região em que o potencial de interação é apreciável. Dessa forma, precisamos expandir a distância e sua inversa, em séries de potências do quociente já que estaremos olhando a situação em que Essas expansões estão feitas, em detalhes, na postagem, Radiação de fontes localizadas harmonicamente oscilantes, e os resultados são

e

Como vimos na Parte 3, o estado “in” é dado por

Podemos usar as expansões das Eqs. (1) e (2) na função de Green da Eq. (3) e obtemos, desprezando todos os termos proporcionais a

Os termos desprezados podem ser feitos tão pequenos quanto quisermos, bastando tomar suficientemente grande. Veja que o máximo valor de é dado pelo máximo alcance do potencial aparecendo dentro da integral da Eq. (3). Então, para a Eq. (4) valer, basta instalarmos o detetor a uma distância suficientemente maior do que as dimensões do aparato de Stern e Gerlach.

Com a substituição da Eq. (4) na Eq. (3), obtemos

A integral da Eq. (5) tem a estrutura de um elemento de matriz do operador potencial entre um bra e um ket. Para ver isso, basta introduzir o operador identidade do espaço de spin,

à esquerda da integral. Como, da Parte 3, sabemos que

e que

podemos introduzir a Eq. (6) e substituir as Eqs. (7) e (8) na Eq. (5), obtendo

onde

Da Parte 2 e da Parte 3, vemos que

Com a Eq. (11), vem

Usando a Eq. (12) e a completeza da base de posição, isto é,

é possível compactar a notação da integral da Eq. (9) assim:

Definimos, da maneira convencional, a amplitude de espalhamento como sendo

Com a Eq. (15) definindo a amplitude de espalhamento, podemos reescrever a forma usual do estado de espalhamento assintótico, Eq. (14), assim:

Veja que a amplitude de espalhamento é uma função que depende da energia, que é conservada na colisão, dos estados inicial e final de spin, da direção do feixe incidente, e da posição angular do detetor, Também é digno de nota o fato de que, na Eq. (15), para calcular a amplitude de espalhamento, devemos conhecer o estado de espalhamento,

😎

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