Medida fraca e espalhamento – Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger

Em postagens recentes, Medida fraca e espalhamento Parte 1: o estado inicial e Medida fraca e espalhamento Parte 2: a hamiltoniana de interação, comecei a descrever, quanticamente, a colisão de um átomo com um campo magnético localizado em uma região limitada do espaço. Na presente postagem, vou continuar a descrição com a introdução do conceito de função de Green, que vamos aplicar à equação de Schrödinger independente do tempo deduzida na Parte 2.

Comecemos com a hamiltoniana matricial para um átomo de massa e spin

onde é uma função não negativa que se anula muito rapidamente fora de uma região de raio centrada na origem. Aqui estou abusando um pouco da notação, denotando da mesma forma as coordenadas e as respectivas componentes do operador posição. Implícito na notação acima está também o fato de que o operador matricial identidade, que é representado por uma matriz está multiplicando o operador energia cinética, que não é matricial, isto é, em nossa notação,

Veja que a matriz potencial,

aparecendo na Eq. (1), é anisotrópica, isto é, não depende apenas da distância

Vamos encontrar os autestados de Seja um desses autoestados, com autovalor onde indica a componente do spin, ao longo do eixo do autoestado da hamiltoniana não perturbada,

correspondente ao autoestado da hamiltoniana perturbada, Não é necessário dizer que

onde é o módulo do autovalor do operador momentum, cujo correspondente autoestado é dado, na representação da posição, por

Em outras palavras, caso fosse identicamente nula, teríamos que ter com

onde indica o autoestado da matriz de Pauli com autovalor se ou se Para sanar suas dúvidas quanto à formulação apresentada acima, visite a postagem: Medida fraca e espalhamento Parte 1: o estado inicial.

Vamos, portanto, montar a equação de Schrödinger na representação de posição. Queremos resolver:

Com a Eq. (1), a Eq. (8) fica:

Como a Eq. (9) é matricial, devemos escrever como uma matriz coluna Então, façamos assim:

Note que, na notação da Eq. (10), está implícita a Eq. (5), relacionando a energia e o módulo do momentum, pois, ao invés do subscrito indicando só a parte angular do momentum, agora estamos usando, nas componentes spinoriais de , o subscrito que também inclui o módulo do momentum, e, portanto, o autovalor de energia, A Eq. (9), em termos da matriz coluna definida na Eq. (10), pode ser expressa matricialmente:

Vamos usar o método da função de Green para determinar a solução formal da Eq. (11). A ideia é encontrar uma função tal que satisfaça:

Por que encontrar uma tal função? Ora, para poder encontrar uma solução particular da Eq. (11), que não é homogênea. Depois, basta somar a solução geral da equação homogênea correspondente e impor as condições de contorno, para encontrar a resposta formal do problema colisional. Digo, “resposta formal”, porque não será uma resposta explícita; continuará sendo expressa em termos de uma integral envolvendo o autoestado desconhecido. No entanto, essa resposta formal serve de ponto de partida para uma série de outros desenvolvimentos, inclusive, por exemplo, uma série perturbativa para aproximar, sistematicamente, a solução explícita do autoestado procurado.

Para ver que a função de Green, pode ser usada para escrever a solução particular da Eq. (11), vamos aplicar o operador diferencial à seguinte função matricial:

onde é uma solução da Eq. (12) e indica que a integral é sobre todo o espaço. Então, as Eqs. (12) e (13) nos dão:

onde usamos a Eq. (3), por conveniência notacional. Portanto,

mostrando que a Eq. (13) é, de fato, uma solução particular da Eq. (11)! Note que eu disse que é uma solução da Eq. (12); qualquer uma, pois há várias! Mas escolheremos uma só, a dedo, para termos a solução da Eq. (11) que satisfaz todas as condições de contorno do problema (a serem especificadas abaixo).

Uma condição de contorno do problema já foi mencionada acima: se fosse identicamente nula, teríamos que ter Então, a solução formal, a menos da escolha da função de Green, escreve-se:

onde usamos as Eqs. (6), (7) e (13). Falta resolver a Eq. (12) agora.

Na minha postagem de eletromagnetismo clássico, Função de Green para a equação de onda, mostrei o seguinte resultado:

onde é um número real qualquer e indica que a integral é sobre todos os valores das componentes do vetor isto é, a integral é sobre todo o espaço dos vetores Vamos agora usar a Eq. (17) para resolver a Eq. (12). Para isso, note que a função delta de Dirac tem a seguinte representação integral:

Por conveniência, vamos definir

Substituindo as Eqs. (18) e (19) na Eq. (12), obtemos

O membro direito da Eq. (20) nos inspira a invocar o uso da transformada de Fourier da função de Green. Escrevamos:

onde é a transformada de Fourier de

Substituindo a Eq. (21) de volta na Eq. (20) produz

isto é,

e, assim, como as exponenciais são linearmente independentes,

O problema em dividir ambos os membros da Eq. (24) por e resolver para é que esse resultado será singular na integral sobre já que o denominador tenderá a zero quando Então, para encontrar soluções do problema, podemos modificar o denominador incluindo uma pequena parte imaginária:

Agora podemos resolver a Eq. (25), isto é,

Colocando esse resultado na Eq. (21) resulta em

cuja integração dá, pela Eq. (17),

quando tomamos as soluções para as quais Finalmente, usando a Eq. (28) na Eq. (16), obtemos

Agora precisamos definir qual dos sinais no argumento da exponencial devemos escolher, como mais uma condição de contorno. A resposta é que o sinal positivo é o que faz com que um pacote de ondas planas, preparado quando é exatamente a mesma função quando utilizamos, ao invés de ondas planas, as funções da Eq. (29). Para ver isso, vamos considerar a dinâmica de um pacote de ondas dada pela equação de Schrödinger dependente do tempo. Por conveniência notacional, vamos reescrever a Eq. (16) usando a Eq. (3):

Como a Eq. (30) dá os autoestados da hamiltoniana total, podemos construir um pacote de ondas qualquer justamente usando esses autoestados:

onde é uma função integrável arbitrária que dá a distribuição de momenta. Mantendo em mente a Eq. (5), vemos que a evolução temporal da Eq. (31) fica assim:

Veja agora que, dentro da integral em tem o produto

onde usamos a Eq. (27) para a função de Green. Agora considere as manipulações algébricas do seguinte quociente:

Como devemos tomar o limite em que já desprezamos no denominador da Eq. (34). Além disso, podemos definir

onde devemos considerar o limite já que a Eq. (35) mostra sua equivalência com Usando as Eqs. (19) e (35) na Eq. (34), podemos escrever

Comparando com os limites da postagem, Limites muito convenientes, vemos que tomando e na Eq. (36) resulta em

Substituindo a Eq. (37) na Eq. (32), quando tomamos

que é justamente o resultado que procurávamos. Então, a condição de contorno expressa pela Eq. (38) é satisfeita se escolhermos na Eq. (29), isto é,

é a expressão do autoestado da hamiltoniana total, que satisfaz as condições de contorno para o espalhamento. O estado da Eq. (39), com sinal positivo na exponencial da função de Green, é chamado de estado “in” (de “incoming”). O estado com a escolha de sinal negativo na exponencial da função de Green, que satisfaz uma relação análoga à da Eq. (38), só que para é chamado de estado “out” (de “outgoing”). Por enquanto é só. Continuaremos em breve, aguarde!

😎

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5 Comments for Medida fraca e espalhamento – Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger

  1. José Victor said,

    setembro 22, 2014 @ 0:19

    Caro Reginaldo,

    Estudando como usar o editor de equações, notei que ele não faz diferença entre
    e

    Mas só não haverá diferença entre a primeira representação e as demais se os tensores duplamente covariantes e duplamente contravariantes, nos mesmos índices, forem simétricos. Isto é, a posição vertical em que ficará o índice, após ser levantado ou abaixado é importante. Uma pequena prova caseira:

    Sejam os dois últimos tensores mistos, escritos na forma acima,

    que podem ser escritos assim:

    o que mostra o seguinte:

    e serão iguais, isto é, a posição vertical dos índices não importará se for simétrico.
    C.Q.D

    Por isso, acostumei-me a manter os índices nas suas respectivas posições verticais, independentemente da natureza do objeto, mantendo vazio o espaço ocupado pelo índice, antes de ser atuado pelo tensor métrico.
    Mas, já sabendo que o tensor é simétrico, é indiferente.

    Obs.: É a primeira vez que escrevo usando o Latex, mesmo na forma do editor acima. Portanto, releve eventuais erros(agradeceria uma correção).

  2. José Victor said,

    setembro 22, 2014 @ 0:23

    Queiram me desculpar.

    Brutal ignorância.
    Escrevi tudo no campo errado, acho.
    Verei exemplos e postarei corretamente.

  3. reginaldo said,

    setembro 22, 2014 @ 11:48

    Olá José Victor,
    Não entendi o que você disse sobre o editor de equações, mas o que lhe faltou foi o comando $latexx$, onde x é qualquer expressão em . Depois que inseri esses comandos em seu comentário, também troquei os sinais nos membros direitos das duas equações de sua demonstração.
    Grato deveras pelo comentário!

  4. José Victor said,

    setembro 22, 2014 @ 19:49

    Reginaldo,

    Ok.

    Muito grato pelas observações. Realmente, você havia alertado.

    Verei se, na próxima, faço funcionar.

    Embora não sendo um estudioso do assunto de seu último post, tive o interêsse em acompanhar, ao menos, os desenvolvimentos matemáticos. E aprender alguma coisa pelo meio. Espetaculares.

    Vale a pena ler os seus trabalhos.
    Mas, acho, já está em tempo de começar a organizar um livro de física avançada, usando essa sua habilidade para tratar os formalismos matemáticos inerentes. Tenho certeza será de imensa valia para estudantes de graduação e do pós.

  5. reginaldo said,

    setembro 30, 2014 @ 18:32

    Olá José Victor,
    Grato deveras pelo seu entusiasmo com minhas postagens! É exatamente esse espírito seu que me dá ímpeto de continuar postando! Valeu mesmo! Com relação a organizar um livro de física avançada, obrigado pela dica, pois jamais me ocorrera escrever um livro. Quem sabe… Enquanto não me resolvo a fazer isso, ficam as postagens. Mais uma vez, grato deveras! Abraços!

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