Medida fraca e espalhamento – Parte 2: a hamiltoniana de interação

Continuando com a descrição começada na postagem, Medida fraca e espalhamento – Parte 1: o estado inicial, o próximo passo, agora que já temos o estado inicial (cf. Eq. (48) da Parte 1), é considerar a evolução do sistema e sua interação com o campo magnético inomogêneo na região próxima à origem do sistema de coordenadas. No experimento original de Stern e Gerlach foram usados átomos de prata. Não vou entrar nos detalhes aqui, mas o spin do único elétron desemparelhado, na última camada da estrutura eletrônica do átomo de prata, é a entidade física responsável pelo momento dipolar magnético medido em um aparato do tipo usado por Stern e Gerlach (o núcleo também tem um dipolo magnético, mas é muito menor, porque a massa do próton é cerca de 1836 vezes maior do que a do elétron). Esse momento dipolar magnético é dado por:

onde é o chamado fator do spin, cujo valor aproximado é:

é o magneton de Bohr, dado por:

em unidades CGS, e é o operador de spin:

conforme já discutimos (cf. Eqs. (36), (37) e (38) da Parte 1). Na Eq. (3) figuram o valor absoluto da carga elementar, a massa de repouso do elétron, e a magnitude da velocidade da luz no vácuo, que só aparece na definição do magneton de Bohr em unidades CGS (mas sou parcial ao uso dessas unidades!). Logo, a hamiltoniana de interação entre o átomo e o campo magnético na região da colisão, em torno da origem, é escrita assim:

onde é o campo magnético inomogêneo no aparato de Stern e Gerlach.

Em investigações posteriores, ao invés de colocar o campo magnético de Stern e Gerlach na Eq. (5), colocaremos o de outras fontes, como, por exemplo, o gerado pelo momento de dipolo magnético de outro átomo de prata. Mas, por enquanto, vamos continuar seguindo o artigo original de 1988. Então, substituindo as Eqs. (1) e (4) na Eq. (5) produz:

onde, por conveniência, definimos:

que é aproximadamente igual ao próprio magneton de Bohr, já que é próximo de (cf. Eq. (2)).

A contraparte clássica da Eq. (5) expressa a energia potencial de interação entre o dipolo magnético e o campo magnetostático Logo, classicamente, há uma força dada pelo gradiente de e, tomando no sentido do versor vemos que essa força é proporcional ao gradiente da componente de ao longo do eixo Essa força, no caso de uma medida típica, isto é, que não é fraca, é a responsável por separar o feixe de átomos de prata em dois: um com spin para cima e outro, com spin para baixo. É por isso que no experimento de Stern e Gerlach a interação é tomada como proporcional ao gradiente da componente da indução magnética ao longo da direção do aparato, que em nosso caso é a direção No entanto, na Eq. (6), não basta dizer que só tem componente e é nulo na origem, com Para fazer aparecer uma aproximação da indução magnética próxima à origem que seja proporcional à coordenada com devemos também ter, no mínimo, uma outra componente de não nula, para garantir que

Assim, vamos imaginar que possamos produzir um campo indução magnética que, em torno da origem, não tenha componente como na geometria indicada no artigo original de 1988, mas que tenha componentes e não nulas, tais que, em virtude da Eq. (8):

O melhor que podemos fazer para obter uma interação parecida com a do artigo original de 1988, é supor uma indução magnética nula na origem e, para a vizinhança desse ponto, que possa ser aproximada por:

onde usamos a Eq. (9).

Substituindo a Eq. (10) na Eq. (6) dá:

Note que a Eq. (11) não é a que foi utilizada no artigo original de 1988, pois lá não há o termo proporcional a Também devemos ressaltar que a dependência linear com as coordenadas e é válida somente nas redondezas da origem, pois o campo indução magnética, em geral, decai conforme nos afastamos do aparato de Stern e Gerlach, ao contrário do que prevê a Eq. (11). Para evitar esse crescimento espúrio, decorrente apenas da aproximação que fizemos, vamos inserir, ad hoc, uma função multiplicando o membro direito da Eq. (11). Essa função é tal que se anula fora de uma região suficientemente próxima à origem. A interação que vamos adotar aqui fica, portanto:

Para completar a formulação deste problema, só falta apresentar a hamiltoniana que descreve o sistema não interagente, isto é, a hamiltoniana não perturbada, que não acopla o movimento translacional ao spin. Então, pode ser representada simplesmente pelo operador energia cinética da partícula de massa

onde é o operador momentum da partícula. A hamiltoniana total é, portanto, a soma das Eqs. (12) e (13):

onde devemos interpretar as coordenadas e como operadores também. Eu particularmente não gosto de introduzir um fator como mas a Eq. (14), embora diferente daquela usada no artigo original de 1988, é a expressão mais fiel à original, incluindo a validade da Eq. (8). É por isso que, no futuro, minha intenção é usar a indução magnética exata de outro dipolo magnético na região de colisão. Espero que você fique comigo, acompanhando esses desenvolvimentos, até então.
😎

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