Medida fraca e espalhamento – Parte 1: o estado inicial

Estou fazendo uma pesquisa que envolve um assunto diferente do que já é tradicional: medidas e valores fracos. Não é o caso que esse tópico seja recente, pois o primeiro artigo sobre isso surgiu em 1988, publicado por Y. Aharonov (É; o mesmo do efeito de Aharonov e Bohm!), D. Z. Albert e L. Vaidman. Nesse artigo, eles descrevem um experimento de Stern e Gerlach para medir o spin dos átomos provenientes de um feixe atômico. Nesta postagem, vou descrever o experimento como se fosse uma colisão, para ilustrar os conceitos de espalhamento quântico e da chamada matriz de espalhamento, ou matriz

É claro que no experimento original era um feixe atômico que atravessava uma região com um campo magnetostático inomogêneo. Aqui, no entanto, vamos pensar em um átomo por vez para simplificar a descrição. Vamos supor que cada átomo tenha um spin como no caso do isótopo de prata usado no experimento de Stern e Gerlach. Depois, em outra ocasião, poderemos até generalizar para um spin arbitrário, mas agora vamos ficar com o caso mais simples.

Em um experimento de colisão, é necessário preparar o estado inicial. Nossos átomos, como no caso do experimento original, vão estar todos no estado eletrônico fundamental. Então, precisamos considerar apenas o estado translacional de cada átomo e seu estado de spin. Inicialmente, portanto, um átomo deve ser descrito como o produto tensorial de seu estado translacional e seu estado de spin. Sejam e os estados iniciais translacional e de spin, respectivamente, de cada átomo. Assim, inicialmente, cada átomo é preparado no estado:

Vamos escolher a origem do sistema de coordenadas bem no meio da região onde há o campo magnético inomogêneo. Na linguagem colisional, dizemos que o centro espalhador fica em torno da origem. Vamos escolher o eixo ao longo da direção e sentido do feixe atômico incidente.

Seja a hamiltoniana atômica não perturbada, isto é, que rege a evolução temporal do estado atômico quando o campo magnético na região da origem está desligado. Vamos supor que não acopla o spin ao movimento translacional e vamos escolher a origem da coordenada temporal, no instante em que o pacote de ondas atômico colide com o centro espalhador na origem do sistema de coordenadas. Então, o pacote de ondas inicial é preparado em um instante de tempo negativo, Vamos supor que a detecção ocorre em A seguir, caracterizaremos detalhadamente o estado inicial da colisão.

Para simplificar, vamos considerar um pacote de ondas gaussiano. Começaremos com a descrição do pacote de ondas no espaço dos momenta, já que, como o átomo está se movendo no sentido do eixo o valor esperado do momentum deve ser, digamos, Em uma dimensão, para simplificar a notação, podemos ver que a função de onda seguinte está normalizada:

onde e são constantes reais, com Para você conferir que a normalização da Eq. (2) está correta, aplique o resultado da postagem Integral da gaussiana à integral do quadrado do módulo de

Note que é uma constante e, portanto, não muda seu valor no integrando, conforme a variável vai sendo integrada. Você prontamente encontrará que o valor da integral na Eq. (3) é igual a um. Como exercío adicional, você pode verificar que o valor esperado do momentum, segundo a função de onda da Eq. (2), é dado por:

A incerteza do momentum, de acordo com a função de onda definida pela Eq. (2), também é facilmente verificada como sendo dada por:

Sendo assim, um pacote de ondas tridimensional normalizado é dado pelo produto de três funções de onda definidas como na Eq. (2), cada uma para uma das variáveis e

com o fator de normalização:

onde as incertezas das componentes do vetor momentum, e são dadas, cada uma, como na Eq. (5). Na Eq. (6) já estamos supondo que os valores esperados dos momenta ao longo dos eixos e são nulos e, ao longo do eixo é dado por isto é:

e

Como será justificado abaixo, estamos escolhendo os valores esperados da posição da partícula de massa como:

e

Outro exercício muito instrutivo para você fazer é mostrar que a transformada de Fourier da Eq. (2) é dada por:

onde

Veja que a Eq. (15) é a relação de incerteza entre e para pacotes gaussianos, quando a igualdade vale. Veja também que os membros da Eq. (14) não estão normalizados. Com a normalização de ambos os membros da Eq. (14) obtemos:

onde usamos a Eq. (15) e definimos a função de onda na representação da posição como é usual:

Note também que agora fica claro que é o valor esperado da variável

como você pode verificar rapidamente.

Em três dimensões, na representação da posição, a função de onda das Eqs. (6) e (7) fica:

com

onde usamos a Eq. (15) para cada par de variáveis conjugadas: e As Eqs. (19) e (20) dão o estado translacional do pacote em torno do ponto do sistema de coordenadas. Agora fica claro que escolhemos o valor esperado inicial da coordenada dado pela Eq. (12), para que o pacote de ondas da Eq. (19) se propague com velocidade ao longo do sentido positivo do eixo durante um intervalo de tempo até a origem do sistema de coordenadas, caso não tenha seu movimento perturbado, isto é, se o campo magnetostático em torno da origem permanecer desligado.

Voltemos agora ao contexto da Eq. (1). O vetor de estado translacional inicial, pela discussão acima, será tomado de tal forma que:

com dada pelas Eqs. (19) e (20). Como é usual, a função de onda para a posição é dada pela transformada de Fourier da função de onda para o momentum:

onde representa a totalidade volumétrica do espaço dos momenta com dada pelas Eqs. (6) e (7). Mas, a exponencial no integrando do segundo membro da Eq. (22), multiplicada pelo fator é a parte espacial de uma onda plana:

Utilizando as Eqs. (21) e (23) na Eq. (22) e rearranjando, obtemos:

Dado que a Eq. (24) deve valer para todo bra segue que:

Uma vez que já discutimos e especificamos o estado translacional inicial, preparado em precisamos considerar o estado inicial do spin, (cf. Eq. (1)). Como estamos revisitando o artigo original de 1988, vamos adotar o mesmo estado inicial de spin:

onde os kets e são os autoestados da componente do spin, com autovalores e respectivamente. O ângulo define a direção e o sentido do versor , ao longo do qual o estado de spin inicial é preparado:

Isso quer dizer que o autovalor da observável é nesse estado. Aqui:

onde e são os operadores de spin de Pauli, cujas representações em termos de matrizes são as usuais:

e

As Eqs. (29), (30) e (31) definem as chamadas matrizes de Pauli, na base dos autoestados de Nessa base, os autoestados de aparecendo na Eq. (26) são dados por:

e

pois:

e

Recorde também que as componentes do spin são dadas em termos dos operadores de Pauli assim:

e

Estamos fazendo toda essa digressão sobre spin para mostrar que o estado inicial de spin, Eq. (26), é um autoestado do operador com autovalor Para ver isso, veja que esse operador pode ser representado assim:

onde usamos as Eqs. (27) e (28). Com as Eqs. (29) e (31), a Eq. (39) pode ser reescrita matricialmente assim:

onde, para encurtar a notação do que segue, definimos:

e

Por sua vez, a Eq. (26) pode ser colocada em forma matricial com o auxílio das Eqs. (32) e (33):

Agora, sim, podemos usar as Eqs. (40) e (43) para calcular:

Porém:

e

onde usamos as Eqs. (41) e (42). A substituição das Eqs. (45) e (46) na Eq. (44) mostra que:

reconhecendo o estado da Eq. (43). Conforme mencionado, a Eq. (47) explicita que o estado de spin definido pela Eq. (26) é, de fato, um autoestado de autovalor do operador da Eq. (39).

O estado inicial, portanto, de acordo com as Eqs. (1), (25) e (26), é dado explicitamente por:

onde a função de onda para o momentum, é dada pelas Eqs. (6) e (7). Como vimos, essa função de onda descreve o estado translacional inicial do átomo. Ela pode também ser pensada como o conjunto dos coeficientes, indexados pelos valores de na combinação linear dos elementos da base constituída pelos kets

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