Matriz de transição

Na postagem Medida fraca e espalhamento Parte 5: as equações de Lippmann e Schwinger, utilizei os resultados da postagem Medida fraca e espalhamento Parte 3: a função de Green para a equação de Schrödinger para deduzir as equações de Lippmann e Schwinger. Estas são equações abstratas, relacionando os estados de espalhamento, de tipos “in” e “out”, com os estados de partículas livres, não interagentes. A relação é iterativa e envolve o operador que corresponde à função de Green da equação de Schrödinger na representação da posição, além do operador hamiltoniano que descreve a interação responsável pelo espalhamento. Nesta postagem vou definir a chamada “matriz de transição” e relacioná-la à amplitude de espalhamento.

As equações de Lippmann e Schwinger, deduzidas na Parte 5, são escritas assim:

onde, para tornar a notação mais compacta, definimos

Os estados de partícula livre, formam uma base completa, como facilmente podemos verificar:

onde usamos a relação entre e da postagem Autoestados da energia cinética,

(cf. Eq. (15) em Autoestados da energia cinética), também usamos

(cf. Eq. (25) da Parte 5) e

Usando a Eq. (3), podemos escrever

onde definimos a matriz de transição, ou matriz assim:

onde

Neste ponto é interessante relacionarmos a matriz de transição, ou matriz com a amplitude de espalhamento, definida na postagem Medida fraca e espalhamento Parte 4: a amplitude de espalhamento:

onde, de acordo com a Eq. (10) da Parte 4,

É preciso lembrar que na Parte 4 estávamos ainda usando os autoestados para a partícula livre, não os autoestados da Eq. (4), que têm um fator multiplicando Então, usando as Eqs. (4), (5) e (11), temos

Também é importante notar que o ket da Eq. (10) não é o mesmo que qualquer dos kets da Eq. (8), pois, na notação da Eq. (26) da Parte 5, corresponde ao estado Portanto, da Eq. (26) da Parte 5,

A substituição das Eqs. (12) e (13) de volta na Eq. (10) dá

A comparação da Eq. (14) com a Eq. (8) permite encontrarmos a amplitude de espalhamento em termos da matriz

onde estamos adotando como válida a Eq. (6), que dá a relação entre e

😎

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