Matriz de espalhamento

Estive, em várias postagens (veja os links no final), discutindo teoria de colisões para poder alicerçar uma nova abordagem às medidas fracas. Na mais recente postagem, defini a matriz de transição e estabeleci sua conexão com a amplitude de espalhamento. O próximo passo é definir a chamada “matriz de espalhamento”, que, no caso de colisões elásticas sob a ação de uma só curva de potencial, para partículas sem spin ou qualquer outra estrutura interna, é equivalente ao tratamento em termos de deslocamentos de fase (“phase shifts”). Há várias vantagens formais na utilização da matriz de espalhamento, inclusive para nosso objetivo de estabelecer uma conexão entre a teoria quântica de colisões e as medidas fracas, pois, como ficará claro em postagens futuras, a matriz de espalhamento é unitária e, por essa razão, possibilita essa conexão de forma natural. Nesta postagem vou definir a matriz de espalhamento de uma forma intuitiva, livre das ambiguidades comuns trazidas por atalhos formais, normalmente tomados em livros-texto.

Começemos considerando as equações de Lippmann e Schwinger, que são meramente formais, mas sumarizam, de forma muito compacta, uma grande quantidade de informações. Como vimos na Parte 5, essas equações são dadas por

Note que o limite aparecendo nessa equação é formal apenas, pois, para ser efetuado, precisamos, antes de mais nada, construir um pacote de ondas das autofunções e, só depois, tomar o limite. Sem um pacote de ondas, esse limite é tão formal quanto a representação integral da função delta de Dirac, pois esta também só faz sentido dentro de um integrando apropriado. Para evitar os problemas associados com essa descrição formal, vamos considerar um problema auxiliar, não a Eq. (1). Seja uma quantidade real não nula, mas que pode ser positiva ou negativa. Podemos definir, portanto,

Veja que agora podemos trabalhar com a Eq. (2) sem precisar de um pacote de ondas, pois não há limite a tomar e, como segue que o denominador não é singular. Ainda não podemos afirmar, no entanto, que o estado tenderá aos estados quando Além disso, veja que o estado não foi alterado, com relação à Eq. (1), de modo que ainda temos como válida a equação

(cf. Eqs. (4) e (6) da Parte 3, Eq. (15) da postagem Autoestados da energia cinética e Eq. (25) da Parte 5), mas não podemos mais afirmar que é um autoestado da hamiltoniana total,

(cf. Eq. (14) da Parte 2), pois A Eq. (2) pode ser resolvida, pois podemos isolar o estado no membro direito, assim:

Aplicando o operador a ambos os membros da Eq. (5), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usamos as Eqs. (3) e (4). Aplicando o operador a ambos os membros da Eq. (6), vem

pois é possível inverter o operador já que não será singular para (basta encontrar a função de Green associada a esse operador, de forma análoga ao que fizemos na Parte 3). Note o seguinte:

onde usamos a Eq. (7). Então, a Eq. (8) implica o resultado:

Para ver que

basta utilizar uma base de autoestados de e notar que, mesmo quando houver autovalor no denominador da Eq. (10), ainda sobra um fator no numerador e o limite dá zero. Usando a Eq. (9) e tomando o limite de ambos os membros da Eq. (6) quando obtemos

mostrando que tende a um autoestado da hamiltoniana total. Tomando o limite de ambos os membros da Eq. (2), agora que sabemos que o limite de existe e é um autoestado de vem

Note que, como ambos os limites,

e

existem, então o limite do produto,

é igual ao produto dos respectivos limites,

Comparando a Eq. (12) com a Eq. (1), podemos identificar os estados com os limites em que do estado

Usando as Eqs. (7) e (13), segue que

Observe, agora, como é interessante o seguinte limite:

Curioso, não é? Veja este, agora:

isto é,

ou seja,

para qualquer função tal que exista. Você deve estar se perguntando onde quero chegar com isso. Note o seguinte limite puramente formal:

usando a Eq. (16). Vamos fazer

Então, o limite em que é equivalente a tomar o limite em que e a Eq. (17) se torna

isto é,

A substituição da Eq. (19) na Eq. (14) dá

ou seja,

com o uso da Eq. (3). Agora, vamos fazer o mesmo para o estado tipo “out”. Note que

isto é,

ou seja,

e, portanto,

Com isso em mente, observe que, usando a Eq. (18), temos

isto é,

Substituindo a Eq. (23) na Eq. (14) produz

ou seja,

onde, novamente, usamos a Eq. (3).

Neste ponto devo alertar você novamente para o fato de que todos os limites aparecendo nesta postagem só fazem sentido se estiverem dentro de integrais envolvendo um pacote de ondas suave, com a energia como a variável de integração. Por exemplo, a função delta de Dirac possui a representação integral:

Veja que o limite do seno quando seu argumento vai a infinito não existe e, portanto, a Eq. (25), estritamente falando, do ponto de vista puramente matemático, está mostrando que a função delta de Dirac não existe. E, no entanto, todo físico a utiliza! Isso acontece porque, a despeito de não fazer sentido quando sozinha, a Eq. (25), colocada dentro de uma integral sobre fornece uma resposta clara, por exemplo,

para qualquer função sensata. Há, é claro, um abuso notacional na Eq. (25), assim como em todas as outras equações envolvendo limites nesta postagem. Por exemplo, ainda não faz sentido escrevermos

mas, sim, faz sentido entendermos a Eq. (25) como implicando em

isto é, primeiro integramos sobre depois, tomamos o limite. Só assim os limites apresentados aqui fazem sentido.

Retornemos às Eqs. (20) e (24). Que significado intuitivo podemos dar a essas equações? Veja a Eq. (20), por exemplo. Ao invés de tomar o limite em que considere com sendo um tempo de valor muito grande, mas finito, que, depois, faremos crescer ilimitadamente. Então,

onde só se torna o estado quando tomamos o limite em que A Eq. (29) pode ser interpretada como um processo de duas etapas. Vamos supor que a colisão acontece em Pense em como sendo o estado em caso não houvesse interação. Se o estado inicial do sistema é preparado em um tempo muito remoto no passado, em então, esse estado é dado por

já que o operador evolução propaga o estado do sistema desde até sem interação. Tomando o estado da Eq. (30) como nosso estado inicial, agora vejamos como esse estado evolui na presença da interação Nesse caso, o operador evolução atua no estado da Eq. (30), com a hamiltoniana desde até e o resultado fica

onde usamos a Eq. (30) e percebemos que o resultado deu o estado definido na Eq. (29). Tomando o limite da Eq. (31) em que vem

que é exatamente a Eq. (20) se trocarmos por

Vamos retornar à Eq. (24). Agora, o raciocínio é um pouco indireto. O estado final, em um tempo remoto no futuro da colisão, é medido por um aparato experimental. Na ausência de interação, queremos descrever esse estado em dado que já foi detectado no instante e que já sabemos qual foi o resultado dessa medida final. Vamos, portanto, supor que o estado final medido apresentou componente do spin como sendo e momentum como sendo Na ausência de interação, o estado, tanto em como em deve ser a menos de um fator de fase. De forma análoga ao que descrevemos anteriormente, no contexto da Eq. (20), vamos escrever o estado em na ausência de interação, como sendo sem explicitar fator de fase algum. Necessariamente, então, em o estado final deve ser descrito assim:

Há aqui uma hipótese implícita: dado que imediatamente após a medida do estado final, em o resultado é o da Eq. (33) (pois estamos supondo que a medida já tenha sido realizada), para descrever o estado medido, mas imediatamente antes de sua detecção, devemos tomá-lo exatamente como o mesmo que resultou após a medida. Só assim podemos garantir a probabilidade unitária para o resultado da medida. Agora, na presença de interação, uma vez que o estado imediatamente antes da medida é o da Eq. (33), devemos descrevê-lo, em como

Finalmente, tomando o limite em que cresce ilimitadamente, a Eq. (34) produz

que reconhecemos como sendo exatamente a Eq. (24).

Devo enfatizar que, em qualquer experimento, há uma diferença na maneira de descrever o estado, dependendo do instante em que o descrevemos. Se ainda não realizamos o experimento, o estado, em função do tempo, é descrito de uma forma; se já realizamos o experimento, o estado, em função do tempo, é descrito de outra forma. É como se a história inteira do sistema estivesse em uma superposição de possíveis histórias, antes da medida final. Depois, quando já sabemos qual é o resultado do experimento, o sistema passa a existir em um subespaço de possíveis histórias superpostas, menor do que o anterior, mas com cada uma das novas histórias consistente com o resultado do experimento.

Os operadores aparecendo nas Eqs. (20) e (24) são operadores de Møller:

e

O operador de espalhamento é definido assim:

onde denotamos o hermitiano conjugado de como A matriz de espalhamento, ou matriz é definida como aquela cujos elementos são os do operador da Eq. (38), entre estados de partícula livre:

Olhando as Eqs. (20), (24), (36) e (37), concluímos que a Eq. (39) pode ser também escrita como

😎

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