Massa reduzida

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A massa do Sol é muito maior do que a massa de todos os planetas juntos e, portanto, podemos supor que todos os planetas giram em torno do centro do Sol sem errar muito. Mas e quando temos duas estrelas, uma orbitando a outra, com massas da mesma ordem de grandeza? Não deveríamos modificar toda a teoria para tratar um problema assim? A resposta é negativa, pois não há necessidade de outra teoria se tomarmos os cuidados necessários. Para vermos como podemos tratar um problema em que ambas as partículas de massas e podem mover-se, escrevamos as forças que cada uma faz sobre a outra:

e

Da segunda lei de Newton seguem as equações:

e

Então agora temos um sistema de duas equações de movimento vetoriais para resolver:

e

Essas duas equações estão acopladas, pois a que envolve a aceleração da partícula de massa depende das coordenadas da partícula de massa e vice-versa. Tem como desacoplá-las? Sim, tem. Primeiro, note o que acontece quando somamos membro a membro ambas as equações:

Em outras palavras, também podemos escrever essa equação assim:

pois as massas não dependem do tempo. Recorde-se que o vetor posição do centro de massa das duas partículas é dada por

Com isso em mente, podemos multiplicar e dividir por e escrever

ou seja,

ou ainda,

Assim, o centro de massa desse sistema de duas partículas descreve um movimento uniforme; a resultante de força gravitacional sobre o centro de massa é nula.

Outra coisa que podemos fazer com as duas equações de movimento acima, isto é,

e

é cancelar as massas que aparecem em seus membros esquerdos, assim:

e

Podemos agora subtrair a segunda dessas equações da primeira e o resultado dá:

Essa é uma equação vetorial para o vetor diferença, que podemos chamar de

Esse vetor também dá a posição da partícula de massa relativamente à posição da partícula de massa e, portanto, também é chamado de vetor das coordenadas relativas. A equação de movimento para esse vetor pode ser expressa em termos da força que partícula de massa faz sobre a partícula de massa da seguinte forma:

isto é,

Seja

Essa constante tem dimensão de massa e é, portanto, chamada de massa reduzida do sistema de duas massas. Outra maneira de expressar a relação entre e as massas e é

Assim, a equação de movimento para o vetor posição relativa fica

Essa equação mostra que o problema de duas partículas pode ser tratado matematicamente como se fosse o problema de uma partícula de massa orbitando a origem sob a ação da força central

😎

Música desta postagem: Sonata K. 332 (Adagio) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Tom Pascale

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