Mais um pouco sobre transientes

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No caso de um oscilador forçado e amortecido, com amortecimento subcrítico, em uma dimensão, a solução geral da equação que rege o movimento, isto é,

é dada pela solução estacionária somada à solução geral da equação homogênea, que descreve a contribuição transiente ao movimento forçado e amortecido. Assim, em termos de expressões matemáticas,

onde a solução estacionária, como vimos no caso de um oscilador forçado e amortecido, é dada por

e a parte transiente escreve-se como no caso de um oscilador subcriticamente amortecido, isto é,

onde e são constantes reais arbitrárias,

e

Para ilustrar o comportamento transiente, vamos encontrar as constantes e em termos da posição e velocidade iniciais. Para isso, calculemos a derivada da posição para obter a velocidade como função do tempo:

onde

e

Em portanto, temos, para a posição inicial,

isto é,

Para a velocidade inicial, temos

ou seja,

A figura abaixo mostra um gráfico que fiz usando o programa Maxima, juntamente com o programa Gnuplot, cuja listagem pode ser adquirida clicando em http://nerdyard.com/transiente.zip. De posse do programa, você poderá se divertir modificando os valores das constantes. 🙂 As abscissas mostram os tempos e as ordenadas mostram as posições. Escolhi, de forma completamente arbitrária, os números que aparecem no programa. Veja o transiente no começo dos tempos. Espero que esse programinha e a figura abaixo possam lhe ajudar na compreensão do conceito de transiente. 😎

Transiente

Música desta postagem: Polonaise in A major Op. 40 No. 1 (“Military”) de Frédéric Chopin, por Felipe Sarro

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