Isotropia da pressão em um fluido em equilíbrio

Em um fluido em equilíbrio, a força resultante em qualquer elemento de volume é nula. Pense em um copo com água. Se o copo for deixado repousar por um tempo suficientemente longo, não vai haver movimento de nenhuma porção da água em seu interior e, portanto, haverá equilíbrio de forças em cada elementozinho da água no copo. O que quero mostrar aqui é que a pressão em cada ponto da água será a mesma, sem importar em qual direção a medimos. Para isso, consideremos um elemento de volume como na figura abaixo.

A pressão é a força por unidade de área em cada uma das faces do elemento de volume em forma de cunha que estamos considerando. Nosso objetivo é fazer o elemento de volume tender a zero para podermos calcular a pressão na direção da normal em termos da pressão na direção mas no mesmo ponto; por isso o volume tem que ir a zero. Como a água está em equilíbrio, as forças que o restante do fluido exerce sobre cada uma das faces do nosso elementozinho de volume devem anular a força peso do fluido dentro do elementozinho. Seja a densidade da água (ao invés, poderíamos considerar outro fluido qualquer, mas vamos ficar com a água em mente porque é mais familiar). Então, a força peso é, de acordo com nossa escolha do sistema de coordenadas,

onde é a aceleração da gravidade e é o elemento de volume, que, em nosso caso, é dado por

Logo,

A força que o restante da água exerce sobre a face em é a pressão multiplicada pela área da parede e, portanto,

onde é a pressão ao longo do sentido do versor Analogamente, a força que o restante da água exerce sobre a parede com normal é dada por

onde é a pressão ao longo do sentido de Também podemos calcular a força na face em

onde é a pressão ao longo do sentido do versor Em analogia também temos

e

onde é a pressão ao longo do sentido do versor e é a pressão ao longo do sentido do versor Note que impondo que a força total ao longo do eixo seja nula resulta em

indicando que a pressão normal será a mesma em ambos os lados de uma dada superfície vertical do fluido, já que o eixo é arbitrário exceto pelo fato de que permaneça horizontal (na verdade, ortogonal à força peso).

A força total ao longo do eixo deve ser nula e, portanto,

isto é,

ou seja,

O produto escalar dá o cosseno do ângulo entre o eixo e a direção normal à superfície obliqua do desenho. O ângulo , pela figura, também é igual ao ângulo entre o segmento e o lado inclinado da superfície obliqua. O cosseno desse ângulo é igual ao cateto adjacente, dividido pela hipotenusa, Logo,

e, portanto,

Cancelando a raiz quadrada e o fator comum aos três termos, resulta na equação

No limite em que o elemento de volume vai a zero, também vai a zero e essa equação dá

Lembre-se que, por hipótese, é a pressão ao longo do sentido do versor e é a pressão ao longo do sentido de Note também que a força peso, embora não nula, acaba não participando desse argumento no limite em que o volume do elemento de fluido vai a zero.

A força total ao longo da direção do eixo também deve ser nula para que a água fique em equilíbrio e, portanto,

isto é,

ou seja,

Pela figura, vemos que

e, portanto,

Logo,

Em resumo,

e a força peso não altera em nada esses resultados, isto é, poderíamos fazer essa mesma análise em queda livre, usando um recipiente fechado com água, desde que a água permanecesse em equilíbrio.

O ângulo é arbitrário e poderíamos ter escolhido o elemento de volume orientado de outra maneira, completamente arbitrária, dentro do copo com água. Mesmo assim, depois de escolher o sistema de coordenadas adequado e compararmos as forças encotraríamos que e mostrando que a pressão é a mesma em qualquer direção em um fluido em repouso.

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for Isotropia da pressão em um fluido em equilíbrio

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.