Invariância de calibre ou gauge

Em eletrostática você provavelmente sabe que há o chamado potencial eletrostático, que pode ser calculado pela integral volumétrica da densidade de carga dividida pela distância entre o elemento de carga e o ponto de observação. O campo eletrostático é dado pelo negativo do gradiente do potencial eletrostático. O que se mede é apenas a diferença de potencial entre dois pontos, de forma que o valor do potencial é definido a menos de uma constante arbitrária. Em outras palavras, o que é fisicamente mensurável é o campo eletrostático. Logo, há infinitos potenciais diferentes dando o mesmo campo eletrostático. Nesta postagem vamos ver que a invariância dos campos eletromagnéticos se manifesta também no caso geral, dependente do tempo, e envolve uma infinidade de escolhas possíveis para os potenciais escalar e vetorial.


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Como explicado na postagem, Os potenciais vetorial e escalar no sistema MKS, o fato de que não há monopolos magnéticos implica na existência de um potencial vetorial, isto é,

Substituindo esse resultado na lei de Faraday, temos

Então,

Com isso, a lei de Gauss fica

ou seja,

onde, para simplificar, estamos considerando os campos no vácuo. A lei de Ampère & Maxwell dá

com

ou ainda,

Notemos que se

teremos

e

Mas podemos impor a Eq. (1) e ainda assim obter os campos e que satisfazem as equações de Maxwell? A resposta é afirmativa e a razão é que há infinitos potenciais que resultam nos mesmos campos eletromagnéticos! Desses infinitos potenciais, um par e satisfazendo a Eq. (1) é sempre possível para todos os campos e satisfazendo as equações de Maxwell, quaisquer que sejam as fontes e A escolha de calibre dada pela Eq. (1) é conhecida como o calibre (ou gauge) de Lorentz. Há infinitos outros calibres, como, por exemplo, o calibre de Coulomb, para o qual Para vermos isso, suponha que os campos eletromagnéticos sejam dados por um par de potenciais, e que não satisfaçam a Eq. (1):

e

Então, vamos escolher novos potenciais, e tais que:

e

onde

é uma função arbitrária do espaço e do tempo. Com isso, calculemos:

Logo, fica evidente que, para qualquer função podemos trocar os potenciais usando as chamadas transformações de calibre, Eqs. (4) e (5), e os mesmos campos e são obtidos com os novos potenciais. Em outras palavras, as equações de Maxwell são invariantes por transformações de calibre, Eqs. (4) e (5). Uma vez que temos os mesmos campos para qualquer escolha da função de calibre, podemos escolher de forma a fazer com que os novos potenciais satisfaçam a Eq. (1), fixando o calibre de Lorentz! Para isso, basta impor que os novos potenciais satisfaçam a Eq. (1) e econtrarmos a equação resultante que deve satisfazer:

isto é, usando as Eqs. (4) e (5),

ou seja,

Assim, uma vez que supusemos que e não satisfazem a Eq. (1), segue que basta encontrarmos uma função satisfazendo a Eq. (6) e encontraremos um novo par de potenciais, através do uso das Eqs. (4) e (5), que satisfarão a Eq. (1) e, ao mesmo tempo, darão os mesmos campos eletromagnéticos satisfazendo as equações de Maxwell com as mesmas fontes de carga e corrente. E, além disso, no caso do calibre de Lorentz, a Eq. (6) tem o mesmo tipo que as Eqs. (4) e (5). Portanto, resolvendo a equação de onda com fonte encontramos e

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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