Introdução ao cálculo estocástico e o lema de Ito

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Na postagem O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço? argumentei que a densidade de probabilidade para o movimento browniano é dada por

No limite em que vai a zero por valores positivos, essa expressão tende à função delta de Dirac e descreve, portanto, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula browniana entre e no instante tendo partido de em Agora tomemos e . Assim, a distribuição resultante,

para qualquer real, é conhecida como a distribuição browniana padrão, ou a distribuição do processo de Wiener padrão.

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Creative Commons License photo credit: Conor Lawless

A distribuição

descreve a densidade de probabilidade para cada instante de tempo de uma variável estocástica que podemos denotar por (por causa de Wiener). Podemos considerar agora a variável estocástica dada pelo incremento

Como cada incremento é, por hipótese, independente de outro incremento e é distribuído normalmente, sua distribuição fica

Assim, o resultado só depende das variações e pois o movimento browniano é markoviano.

Consideremos agora a distribuição normal da variável estocástica

Para manter a normalização igual à unidade, a distribuição da variável estocástica

é dada por

ou seja,

Logo, podemos escrever:

e, no limite infinitesimal,

Porque é distribuída normalmente, com média nula, seu valor esperado é zero. Sua variância é igual à unidade:

Logo,

e

Calculemos:

e, portanto,

Para completar esse cálculo, consideremos a integral:

Tomando

obtemos

Logo,

Temos também:

e, usando

calculamos que

Com esses resultados, consideremos incrementos muito pequenos e, portanto, desprezemos

e ordens superiores. Podemos, então, dizer que, sendo assim, os termos

não são estocásticos, já que suas variâncias são desprezíveis. Consequentemente, as igualdades

e

não apenas são satisfeitas em valor esperado, mas exatamente, já que não flutuam, pois suas variâncias são desprezíveis.

A partir de agora, podemos descrever o movimento browniano como sendo dado por esta equação diferencial estocástica:

O valor esperado dessa expressão dá

onde usamos que

Também é notório o cálculo seguinte:

onde usamos

e

além de tomar o quadrado de como desprezível. Embora seja uma variável estocástica, é uma variável determinística.

O lema de Ito

Dada uma variável estocástica satisfazendo

onde, por clareza,

então, para uma função não estocástica , para real, temos:

onde

Prova:

Façamos uma expansão da função em potências de , até segunda ordem em :

Usando e

obtemos

isto é,

ou seja,

quod erat demonstrandum.

Como exemplo, considere o movimento browniano geométrico, isto é,

com satisfazendo Usando o lema de Ito, facilmente obtemos



😎

Música desta postagem: Prelude No.7 de Robert Vandall, por Bruce Siegel

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