Guias de ondas de seção transversal constante

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Antes de considerarmos uma aplicação específica, suponhamos um tubo reto, oco e infinito, feito de material condutor ideal, com seção transversal constante. Vamos considerar que o interior desse tubo seja preenchido por um material dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica e permeabilidade magnética .

Light at the end of the tunnel
Creative Commons License photo credit: Jon… in 3D

Tomemos o eixo ao longo do comprimento do tubo e suponhamos que a espessura da parede condutora seja constante. As ondas eletromagnéticas que se propagariam no interior de um tal guia de ondas de seção transversal constante devem satisfazer as equações

e

Para ondas monocromáticas, tomemos como dependência temporal de nosso ansatz a função . Com isso, as equações acima escrevem-se

e

Modos

Procuremos por modos transversais elétricos, , ou seja, imponhamos dentro do guia de ondas. Da Lei de Indução de Faraday temos

Em termos de componentes cartesianas, essa equação resulta em

Para modos :

e

Procuremos por ondas que se propaguem ao longo do sentido positivo do eixo . Assim, tomamos a dependência funcional em dos campos e como e obtemos

e

Da Lei de Ampère-Maxwell obtemos

ou seja,

Com o ansatz referente à dependência em , essas equações dão

e

ou ainda,

e

Resumindo, se definirmos o operador nabla transversal como

podemos escrever

e

onde definimos os correspondentes campos transversais ao eixo do guia de ondas como

e

Dessa forma, se encontrarmos , facilmente obteremos , , e . Para obtermos , utilizamos a equação de onda:

Com o ansatz para a dependência em , obtemos a equação para :

Essa equação e as condições de contorno para resolvem o problema para modos . Na superfície do guia de ondas, a componente normal de deve ser nula, pois o condutor é ideal e se anula dentro do material condutor. Logo,

Mas como a normal à superfície de um guia de ondas cilíndrico é ortogonal ao eixo do cilindro, podemos escrever

resultando em

isto é,

é a condição de contorno para modos .

Modos

Impondo que dentro do guia de ondas, obteremos os modos transversais magnéticos, . Da Lei de Ampère-Maxwell obtemos

ou seja,

Para modos :

e

Aqui também tomamos a dependência funcional em dos campos e como e obtemos

e

Da Lei de Indução de Faraday temos

Em termos de componentes cartesianas, essa equação resulta em

Para modos e o ansatz de propagação ao longo do eixo do guia de ondas, obtemos

e

ou seja,

e

Em resumo, portanto,

e

Dessa forma, se encontrarmos , facilmente obteremos , , e . Para obtermos , utilizamos a equação de onda:

Com o ansatz para a dependência em , obtemos a equação para :

Como a componente tangencial do campo elétrico à superfície do guia de ondas deve ser nula, pois o campo elétrico dentro de um condutor ideal é nulo e a componente tangencial do campo elétrico é contínua, segue que

isto é,

ou seja,

e, portanto,

e

A normal tem apenas as componentes e e

Logo, porque as componentes da normal, e , não podem ser ambas nulas, segue que a condição de contorno para os modos é

Exemplo: modos em um guia de ondas de seção transversal retangular constante

Consideremos um guia de ondas retangular, cuja seção transversal tem a forma de um retângulo cujos vértices, no plano , são dados pelos pontos , , e . A solução da equação de onda para é facilmente verificada como sendo

onde , e devem satisfazer

Além dessa condição, e , assim como , , e , também devem ser determinadas pelas condições de contorno. Em e , a componente do campo elétrico tangencial à parede condutora deve ser nula. Como por hipótese (modos ), segue que , ou seja, como

segue que

Mas,

Impondo a condição de contorno acima para resulta em

Em , a condição e o resultado acima implicam em:

ou seja,

Analogamente, em e , a componente do campo elétrico tangencial à parede condutora deve ser nula. Como por hipótese (modos ), segue que , ou seja, como

segue que

Mas,

Impondo a condição de contorno acima para resulta em

Em , a condição e o resultado acima implicam em

ou seja,

Portanto, definindo a amplitude arbitrária , obtemos

Notemos que se escolhermos , ficaremos com

Mesmo que tomemos como requerido pela equação

teremos, necessariamente,

e

A componente da Lei de Indução de Faraday então implica em

e, portanto, a solução para é e . Logo, a solução acima, isto é,

só não é trivial quando e . Esses modos são indicados assim: .

😎

Música desta postagem: Bachianas Brasileiras (Prelude) de Heitor Villa-Lobos, por Felipe Sarro

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8 Comments for Guias de ondas de seção transversal constante

  1. » Cavidades Ressonantes | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    abril 5, 2010 @ 9:58

    […] construir uma cavidade ressonante a partir de um guia de ondas cilíndrico simplesmente adicionando tampas transversais ao longo do eixo do guia. Assim, escolhamos o eixo no […]

  2. » Modos TEM | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    abril 5, 2010 @ 11:52

    […] que, ao tratarmos guias de ondas cilíndricos, procuramos por modos tranversais elétricos () e transversais magnéticos , mas não procuramos […]

  3. Jean Carlos Graf said,

    junho 24, 2010 @ 9:05

    Opa, bom dia, muito legal esse material cara!!
    Eu já tive a prova sde guias de ondas, sou da engenharia elétrica, então só estudamos o guia retangular, agora vai cair uma prova extra, com guias retangulares de novo e cavidade ressonante. Vc tem um post legal disso também, vou ler ele, mas pode me indicar um livro cara? que livro você utilizou? eu toh procurando um por aqui.
    Abraço

  4. reginaldo said,

    junho 24, 2010 @ 9:25

    Olá Jean Carlos Graf,
    Fico feliz que tenha gostado do material; grato deveras!
    Os livros que tenho utilizado e que talvez sejam muito úteis para você também são os que estão no link: http://www.ifsc.usp.br/~reginaldo/EletromagnetismoA/livros.htm
    Espero que o material e os livros lhe ajudem!

  5. reginaldo said,

    junho 25, 2010 @ 7:21

    Olá Jean Carlos Graf,
    Talvez você também possa utilizar os livros que enumero neste outro link: http://www.ifsc.usp.br/~reginaldo/EletromagnetismoII2009/livros.htm
    Boa sorte!

  6. Hudson said,

    maio 7, 2011 @ 23:33

    Olá, professor Reginaldo.

    Eu estou com uma dúvida com relação às condições de contorno do modo TM.

    A condição principal é:

    .

    Dessa condição, você obteve o seguinte:

    ,

    com o argumento de que as componentes da normal podiam variar.

    Mas havia uma outra condição também, que era

    .

    Eu não consigo entender como a condição na superfície já dá conta disso também. O Jackson fala que, para os modos TM, essa condição é suficiente. Por ‘coincidência’, de fato é suficiente no guia de ondas retangular, mas como eu vejo isso em uma situação mais geral?

    Obrigado.

  7. Hudson said,

    maio 7, 2011 @ 23:39

    Ah, não sabia que era preciso escrever latex na frente do $. Se possível, corrija meu post, por favor.

  8. reginaldo said,

    maio 9, 2011 @ 9:42

    Olá Hudson,
    Grato deveras pelo seu comentário. Primeiramente, estamos procurando a condição de contorno sobre de forma que não estamos querendo saber nada mais sobre e pois essas componentes podem ser determinadas a partir de Então, não há razão para você se preocupar com a equação

    já que essa equação deve ser verdadeira se todo o raciocínio anterior estiver certo. Acontece que o raciocínio anterior está correto, pois você mesmo não apresentou objeção alguma quanto a isso. Logo, a equação deve ser válida. Para verificar, acompanhe a argumentação que segue. Note que

    Como

    segue que

    Como está na direção do versor segue que

    Qual é a direção de sobre a superfície lateral? Veja que é zero sobre a superfície lateral e, por isso, não varia ao longo dessa superfície. Logo, seu gradiente transversal não pode apontar ao longo da direção tangencial à superfície. Portanto, só pode apontar ao longo da normal à superfície lateral e, assim,

    implicando que

    Observe que isso decorre de termos imposto

    🙂

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