Função de Green para a equação de onda

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Em uma postagem anterior mostramos que, no calibre de Lorentz, dadas as fontes e , tudo o que temos a fazer para encontrar os potenciais escalar e vetorial é resolver a equação diferencial

onde o par ordenado representa um elemento qualquer do conjunto

And God said, Let there be light: and there was light
“And God said, Let there be light: and there was light”Creative Commons License photo credit: *L*u*z*A*

Queremos encontrar, primeiramente, uma solução particular dessa equação. Para isso, utilizamos a função de Green , que, por definição, satisfaz

Podemos fazer a transformada de Fourier sobre a variável em ambos os membros dessa equação para obter

onde usamos a representação integral da função delta de Dirac, isto é,

e definimos

Como explicaremos mais adiante, ao invés de resolvermos a equação diferencial acima, vamos modificá-la:

onde definimos

que assume valores positivos e negativos, como Podemos agora tomar a transformada de Fourier com relação à variável e obter

onde utilizamos

e definimos

Logo,

e, portanto,

Notemos que se não tivéssemos modificado a equação original e, portanto, equivalentemente tomado a integral acima não convergiria e não poderíamos encontrar uma função de Green pelo presente método. No entanto, a função de Green, no caso modificado, fica

ou ainda,

Em coordenadas polares,

Se escolhermos o eixo do espaço dos vetores de onda como sendo paralelo ao vetor , teremos

onde utilizamos a substituição . Como temos

podemos escrever

Os polos dessa integral são dados por

com dado acima, isto é,

Consideremos a integral no plano complexo:

onde o contorno é fechado sobre o semi-plano complexo superior.

Quando (veja a figura acima), temos

Quando (veja a figura acima), temos

Mas, com o contorno fechado sobre o semi-plano complexo superior,

e, portanto,

Com esses resultados, podemos concluir que

e, portanto,

Assim, também temos

Há, portanto, duas soluções possíveis para o problema:

Para os campos eletromagnéticos especificamente de distribuições de cargas e correntes dadas, sendo esses campos nulos no caso de termos as fontes também nulas, entendemos que esses campos são causados pelas fontes. Nesse caso, utilizaremos as soluções retardadas e não as avançadas, isto é,

e

Música desta postagem: Nocturne in B flat minor Op.9 No.1 de Frédéric Chopin, por Richard Anatone

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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9 Comments for Função de Green para a equação de onda

  1. » Equações do eletromagnetismo | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 2, 2010 @ 10:35

    […] deduzimos quando discutimos a função de Green para a equação de onda. Com essas soluções dos potenciais, os campos são obtidos destas […]

  2. Leonardo Andreta de Castro said,

    março 15, 2010 @ 19:48

    Três coisas:

    1. Falta o na primeira linha da equação logo abaixo de “Em coordenadas polares,”. Na segunda linha ele aparece corretamente.

    2. A função de Green continuou sendo chamada de mesmo depois de fazer .

    3. Usar a transformada de Laplace em vez da de Fourier na variável temporal evita ter que usar esses , mas faz com que a solução avançada desapareça.

  3. reginaldo said,

    março 16, 2010 @ 9:22

    Grato deveras, Leonardo. Já corrigi o texto.

  4. Diego Paiva Pires said,

    março 16, 2011 @ 11:31

    Bom dia, prof. Reginaldo.

    Na passagem do texto

    “…onde utilizamos a substituição . Como temos
    “,

    acredito que falta um sinal negativo na integral descrita, de modo que escrevemos:

    Obrigado.

  5. reginaldo said,

    março 16, 2011 @ 16:28

    Olá Diego,
    Grato deveras pelo seu comentário. Já corrigi o texto na postagem e no arquivo em PDF. Valeu mesmo!

  6. Diego Paiva Pires said,

    março 16, 2011 @ 18:10

    Boa noite, prof. Reginaldo.

    Na passagem do texto

    “… e portanto …

    …” ,

    acredito que não há mais o termo no argumento entre parênteses da exponencial, que já foi colocado em evidência na passagem anterior, ou seja, teremos a expressão:

    Obrigado.

  7. reginaldo said,

    março 16, 2011 @ 21:11

    Olá Diego,
    Grato deveras pelo seu comentário. Já corrigi o texto na postagem e no arquivo em PDF. Valeu!

  8. Tiago Gualberto said,

    março 13, 2013 @ 17:52

    Olá !

    Acredito que a primeira trasformada de Fourier que o Sr. faz para o G está com o sinal do trocado, o que torna ela uma transfomada inverça. E a consequência disto é que com o sinal de menos a equação de Helmholtz fica com o sinal trocado.

  9. reginaldo said,

    março 17, 2013 @ 10:15

    Olá Tiago,
    Grato deveras pelo seu comentário!
    Você pode definir a transformada com o sinal de mais ou de menos e, assim mesmo, a equação fica com o mesmo sinal. Como você tem a derivada temporal de segunda ordem, você deve derivar duas vezes com relação ao tempo. Na primeira, a exponencial fica multiplicada por Quando você deriva a segunda vez, você fica com outro fator isto é, multiplicando com o primeiro, você fica com o fator multiplicando O sinal de menos ao quadrado cancela, o que significa que se tivéssemos definido a transformada com o sinal de mais, teríamos, após tomar duas derivadas temporais, obtido o mesmo resultado.
    Espero que agora esse fato esteja mais claro.

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