Forma de linha ressonante

Mais uma vez, nesta noite de segunda-feira, vou considerar o caso de um oscilador forçado e amortecido, com amortecimento subcrítico, em uma dimensão. A essa altura você, que acompanha minhas postagens, já deve ter decorado a equação de movimento desse tipo de oscilador unidimensional:

onde, para tornar mais concreta nossa discussão, sempre tenhamos em mente o caso de um sistema massa-mola, de massa e mola com constante elástica com

e

definindo por mera conveniência notacional. Sem querer repetir a mim mesmo demais, vou enfatizar novamente que a solução dessa equação é dada pela solução estacionária somada à solução geral da equação homogênea, que descreve a contribuição transiente ao movimento forçado e amortecido. Assim, em termos de expressões matemáticas,

onde a solução estacionária, como vimos no caso de um oscilador forçado e amortecido, é dada por

e a parte transiente escreve-se como no caso de um oscilador subcriticamente amortecido, isto é,

onde e são constantes reais arbitrárias,

e

Depois de passado um intervalo de tempo suficientemente longo de modo que a solução se torna estacionária, isto é,

O que acontece com o movimento perto da ressonância, isto é, quando Para responder isso, vamos analisar o balanço da energia do oscilador forçado amortecido no regime estacionário.

Balanço da energia em ressonância

A energia do oscilador é dada por

Se tomarmos a derivada da energia com relação ao tempo, teremos

Da equação de movimento para o oscilador forçado e amortecido que está escrita lá no começo desta postagem, isto é,

com

e

segue que a variação temporal da energia escreve-se

ou seja,

No regime estacionário,

e, portanto,

Logo, nesse regime,

e, assim,

Podemos escrever também que

isto é,

ou seja,

O período de oscilação da solução estacionária é

A média durante um período da equação acima fica:

isto é,

Como

e

segue que

Logo, no regime estacionário,

isto é, como

decorre que, no regime estacionário,

Então,

A interpretação dessa equação pode ser feita como segue. A potência média fornecida pela força externa, que força o movimento, é igual à potência média dissipada e, portanto, a energia média total não mais varia quando o sistema atinge o regime estacionário. Para entender melhor essa interpretação, note que a força externa aplicada é dada por

Logo, a potência que essa força fornece ao sistema é igual ao deslocamento multiplicado por e dividido por que é o intervalo de tempo de duração desse deslocamento, isto é,

No regime estacionário, em média, temos

Note também que a força dissipativa é dada por

Assim, a potência dissipada é essa força multiplicada pela velocidade, isto é,

Portanto, em média, no regime estacionário, a potência dissipada fica

já que

Portanto, a igualdade que obtivemos acima, isto é,

também significa que

ou seja,

Portanto, no regime estacionário, a potência que a força externa fornece compensa, em média, a potência dissipada.

Potência fornecida em média pela força externa

Como é a expressão da potência dissipada em média? Vamos calculá-la:

isto é,

ou seja,

já que, analogamente ao procedimento para tomar a média por período que vimos acima,

A figura abaixo mostra a forma de linha para a potência média fornecida pela força externa, como função da frequência As abscissas são as frequências e as ordenadas são os valores de Os números que utilizei são os do programinha para Maxima que escrevi e que pode ser baixado daqui: http://nerdyard.com/ressonancia.zip. Não se esqueça de que, para ver gráficos, você precisa ter instalado também o Gnuplot. Note como a forma de linha é assimétrica para essa escolha de números. Veja também que há um pico acentuado próximo de essa é a chamada frequência ressonante. Com o programa em mãos, você poderá mudar os números e ver o que acontece. Não é divertido fazer isso? 😎
Forma de linha ressonante

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2 Comments for Forma de linha ressonante

  1. Ízzie said,

    outubro 20, 2010 @ 20:25

    oie…….
    Excelente conteúdo………parabéns
    Os outros conteúdos que foram postados também estão ótimos…..
    Eu que não entendo física e não tenho afinidade com ela , comecei a entender……..
    Gostaria de estar conhecendo mais especificamente apenas sobre oscilações forçadas e amortecidas.
    Até mais………

  2. reginaldo said,

    outubro 21, 2010 @ 13:44

    Olá Ízzie,
    Grato deveras pelo seu comentário! Fico realmente satisfeito porque você diz que não entende física, mas começou a entender! Fascinante! Há mais postagens sobre oscilações em Nerdyard, basta procurar as postagens na minha home page. Fico extasiado que você tenha gostado! Você gostaria de receber, por e-mail, avisos de novas postagens em Nerdyard? Caso queira, ofereço minha newsletter. Com ela você ficará sabendo, por e-mail, toda vez que uma nova postagem for publicada aqui. 😎

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