Força conservativa

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Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas e com vetores posição em e respectivamente, é dada por

Vimos também que o trabalho da força gravitacional em um caminho fechado é sempre nulo, em qualquer caminho fechado, mesmo um que não possa ser percorrido sempre no mesmo plano. Quando uma força qualquer tem trabalho nulo em qualquer caminho fechado, dizemos que é uma força conservativa, pois é sempre possível definirmos uma energia potencial para essa força. Para vermos isso, consideremos uma força conservativa. Então,

para qualquer caminho fechado Tomemos dois pontos de um caminho fechado, e Então, o caminho fechado pode ser escrito como a união de dois outros caminhos, e ambos abertos, como mostra a figura abaixo.

Caminho fechadoLogo,

Como toda integral de Riemann, as de caminho também obedecem certas propriedades comuns; por exemplo, temos

e, portanto,

Ora, como a curva é completamente arbitrária, os caminhos do ponto até o ponto e também são completamente arbitrários. O que a igualdade acima,

nos diz é que, quando a força é conservativa, o trabalho para ir do ponto até o ponto não depende do caminho. Se o trabalho não depende do caminho, então do que depende? Ora, depende dos pontos inicial e final. Por exemplo, tomemos os pontos e dos caminhos e acima. Podemos tomar um terceiro ponto, como referência e escrever:

onde nem mesmo precisamos especificar o caminho, já que essas integrais independem de caminhos. Mas,

e, assim,

Fixando o ponto de referência, podemos definir a função do ponto qualquer como

e, finalmente, vemos que o trabalho da força conservativa é a diferença entre a mesma função calculada nos pontos inicial e final do caminho:

Essa função cuja diferença entre dois pontos dá o trabalho da força por qualquer caminho entre esses mesmos pontos, é batizada de energia potencial e a razão para esse nome está ilustrada no caso da força gravitacional.

Podemos também definir uma função de , para cada ponto do espaço, como segue:

por qualquer caminho que escolhamos, já que o resultado dessa integral independe dessa escolha. Calculemos, então, o gradiente de :

Calculemos, primeiramente, a derivada parcial com relação a :

pois a força é uma função dos pontos do espaço:

já que

Tomamos o caminho de integração para a integral acima como ilustra a figura abaixo.

Caminho de integração para derivada parcial com relação a x

Note que, como a integral não depende do caminho, podemos escolhê-lo convenientemente. Observe também que os caminhos de integração convenientes para os cálculos das outras derivadas parciais, com relação a e a serão outros e não o da figura. Na equação

a primeira integral do membro direito é calculada mantendo a coordenada , do ponto , fixa e terminando em um ponto com as coordenadas e do ponto . A derivada parcial com relação a dessa integral é, portanto, nula, pois essa integral não depende de A segunda integral do segundo membro da equação acima é calculada sobre uma reta paralela ao eixo , mantendo as coordenadas e do ponto fixas. Assim, temos:

Repetindo raciocínios análogos para as derivadas parciais com relação a e usando caminhos de integração diferentes do anterior, mas que não alteram o valor da integral do membro esquerdo, obtemos também:

Assim, finalmente:

independentemente da escolha do ponto . Logo, se a força é conservativa, sempre existe uma função cujo gradiente dá a força.

Qual a interpretação física da função Ora, por definição, essa função é o trabalho da força desde o ponto até o ponto com vetor posição Mas nós vimos que esse trabalho é a diferença entre as energias pontenciais nesses pontos; mais precisamente,

Logo,

e, portanto,

Como o ponto é fixo e não depende das coordenadas do ponto de vetor posição segue que

Assim,

Com isso, provamos que a força será sempre igual ao negativo do gradiente da energia potencial quando for uma força conservativa.

😎

Música desta postagem: Habanera de Ernesto Halffter, por Chris Breemer

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