Força central

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A força eletrostática e a força gravitacional são centrais. Isso quer dizer que quando duas partículas interagem eletrostatica ou gravitacionalmente, a força que uma exerce sobre a outra tem a direção da linha que as liga e só depende da distância entre elas. É um fato decorrente da terceira lei de Newton que a força que a primeira exerce sobre a segunda tem módulo igual e sentido contrário ao da força que a segunda exerce sobre a primeira. Tipicamente, ambas as partículas interagindo sob a ação de uma força central movem-se com acelerações inversamente proporcionais às suas respectivas massas. Aqui, para simplificar a conversa, vou supor que uma das partículas não sofra aceleração apreciável porque tem uma massa muito superior à massa da outra partícula, mesmo que a força que age sobre ela seja igual, em módulo, à força que age sobre a outra. Então, desprezando a aceleração da partícula de massa praticamente infinita, supondo que essa partícula permaneça em repouso na origem do sistema de coordenadas, vou escrever a força sobre a outra partícula, de massa finita, da seguinte forma:

onde é o módulo do vetor posição dessa partícula e é o versor na direção radial. Em termos de coordenadas cartesianas, escrevemos

e

A primeira observação para o movimento sob força central é que a trajetória da partícula móvel é uma curva plana. Para ver isso, basta calcular o torque com relação à origem:

pois

Como

segue que o momentum angular, é uma constante de movimento. Logo,

onde e são, respectivamente, o vetor posição e o momentum iniciais da partícula. Escrevendo

onde é a velocidade inicial da partícula, também podemos escrever

Para deixar as coisas ainda mais concretas, vou tomar o eixo do sistema de coordenadas ao longo do vetor e escolher o eixo perpendicular ao vetor Com isso, é óbvio agora que

onde

é independente do tempo. Para um instante qualquer, diferente do instante inicial, podemos escrever

e, como podemos escrever

Caso segue que e, portanto, é paralelo ou anti-paralelo a a todo instante, resultando em um movimento linear.

Consideremos agora o caso em que Em termos de componentes cartesianas, podemos escrever

isto é,

Sabemos que

e

Com isso, podemos escrever

isto é,

ou seja,

Logo,

e

Vamos multiplicar a equação

por e a equação

por Obtemos:

e

Somando membro a membro essas duas equações, dá

isto é,

ou seja, colocando em evidência e multiplicando tudo por , temos

Como

segue que

e, uma vez que segue que

em todo instante. Assim, a trajetória de uma partícula sob a ação de uma força central se dá no plano, como já adiantado acima.

Como o movimento é plano, podemos adotar um sistema de coordenadas polares no plano Sendo assim, podemos escrever

e

isto é,

ou seja,

Vamos utilizar a notação seguinte:

e

Note que

e

Com isso,

e

Logo, a equação

fornece

isto é,

Mas,

e

isto é,

Logo, a equação que obtivemos acima, ou seja,

torna-se

isto é,

Você vê como o fato de o momentum angular ser constante ajuda? Agora, além de sabermos que o movimento é no plano, temos também como encontrar uma das variáveis, se soubermos Basta, depois de termos encontrado fazermos uma integração:

Como encontramos É simples: basta notarmos que há mais uma constante de movimento, que é a energia total,

Como, em coordenadas polares,

segue que

Além disso, como

e como é uma força central, segue que

Mas,

e

Assim,

e

Veja que o integrando só depende do módulo de e, portanto, podemos escrever essa integral assim:

Logo,

para quaisquer pontos e Podemos tomar o ponto como uma referência para a energia potencial e escolher Como é um ponto qualquer, seja e, portanto, Com essas providências, podemos escrever a equação para de uma forma mais compacta:

isto é,

onde defini para simplificar ainda mais a notação. Com tudo isso em mãos, agora podemos escrever

Note que só depende do módulo de Então, para abreviar a expressão da energia total, vou definir a função como sendo

Portanto,

Como já determinamos que

segue que

isto é,

Para valores fixos da energia total, e da magnitude do momentum angular, podemos isolar

Como

é possível encontrar como uma função do tempo resolvendo uma integral:

isto é,

ou seja,

onde é o módulo do vetor posição da partícula calculado no instante inicial

Segunda lei de Newton em coordenadas polares

Como já sabemos que

basta derivar mais uma vez essa equação para termos a aceleração em coordenadas polares:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Mas, pela segunda lei de Newton,

e, como a força é central,

Logo,

e

O fato de que

não surpreende, já que o momentum angular é conservado, pois, como vimos,

e, portanto,

isto é,

ou seja,

Então,

cuja derivada temporal de ambos os membros resulta em

isto é,

ou seja,

ou ainda, para

de acordo com a segunda lei de Newton acima.

Agora consideremos a equação

Usando

temos

isto é,

Logo, obtivemos um problema unidimensional. Tudo se passa como se uma partícula de massa se movesse ao longo de uma linha sob a ação de uma força efetiva

Uma energia potencial efetiva para essa força pode ser escrita como

pois, como

segue que a força efetiva acima decorre do gradiente do potencial efetivo

O segundo termo do membro direito dessa equação,

é a força centrífuga associada ao movimento no referencial da partícula. É por isso que o termo

é chamado de potencial centrífugo. Mas essas coisas você vai estudar em uma postagem futura.

Resolução da equação de movimento radial

Para resolver a equação de movimento radial,

o truque é usar a substituição de variável:

Então,

e

Assim,

e

Portanto,

Além disso, ao invés de parametrizar o problema em termos do tempo vamos parametrizar em termos do ângulo polar Então,

Também,

isto é,

Substituindo essas expressões para e na equação de movimento,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Veja que quando a força for inversamente proporcional ao quadrado da distância, como a força gravitacional ou eletrostática, teremos

isto é,

e, portanto, a equação de movimento fica

que é praticamente uma equação do oscilador harmônico e, portanto, muito fácil de resolver. Mas esse é assunto para outra postagem.

😎

Música desta postagem: Nocturne in G major Op. 37 No. 2 de Frédéric Chopin, por Luke Welch

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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14 Comments for Força central

  1. José Victor said,

    agosto 9, 2011 @ 11:03

    Belíssima aula.
    Parabéns.

    Victor.

  2. reginaldo said,

    agosto 10, 2011 @ 9:50

    Olá José Victor,
    Grato deveras pelo elogio! Fico feliz que você tenha gostado! Valeu!!!

  3. Eduardo said,

    agosto 17, 2011 @ 20:18

    Suas postagens de aula são absolutamente genias professor, sinto que nem preciso consultar o Mechanics, apenas para fazer exercícios.Acho que a bibliografia do curso deveria ser seu site haha. Na aula percebo que perco algumas passagens importantes, mas o nerdyard não deixa duvidas 😀

  4. reginaldo said,

    agosto 18, 2011 @ 18:13

    Olá Eduardo,
    Grato deveras pelo seu comentário e seus elogios! Estarei sempre empenhado para que o Nerdyard sempre possa lhe servir bem! Valeu mesmo!

  5. guga said,

    outubro 11, 2011 @ 14:11

    Parabéns professor Reginaldo, essa aula foi muito boa e contribuiu fortemente para o meu aprendizado.
    Fico feliz por você ser um ótimo pesquisador e professor, muito boa sua didática, todos os professores deveriam compartilhar seu conhecimento, muitos omitem certas passagens matemáticas,…..
    Dessa forma o aprendizado fica mais interessante.
    Quando um aluno diz para um professor que não teve dúvidas, é mérito do professor que ensinou muito bem.
    Bom eu não tive dúvidas nessa aula!!!
    Parabéns professor !!

  6. augusto said,

    outubro 11, 2011 @ 14:23

    duas perguntas professor,

    força central e potencial central são iguais?

    Poderia fazer uma discussão sobre potencial central usando essa nota de aula?

    Aguardo contato

    Obrigado

    parabésn pela aula, não fiquei com nenhuma dúvida nas passagens matemáticas.

  7. guga said,

    outubro 11, 2011 @ 14:30

    Força central e potencial central são iguais??

    Poderia fazer uma discussão sobre potencial central usando essa nota de aula? Professor poderia dar um exemplo sobre aplicações de potencial central?

    Obrigado

    e mais uma vez Parabéns!

  8. augusto said,

    outubro 11, 2011 @ 14:38

    Parabéns professor pela excelente aula.

    Professor alguns questionamentos.

    Força central é o mesmo que potencial central ??
    Eu poderia fazer uma discussão sobre potencial central usando essa nota de aula? Professor você poderia citar alguns exemplos sobre aplicações do potencial central?

    Obrigado e mais uma vez parabéns pela aula.

  9. reginaldo said,

    outubro 13, 2011 @ 10:00

    Olá Guga,
    Grato deveras pela sua mensagem cheia de elogios. É justamente esse feedback que você está dando que transforma o Nerdyard em algo útil para todos os estudantes! Por causa de comentários como o seu, sinto-me cada vez mais motivado a explicitar os detalhes das passagens matemática tantas vezes omitidos! Valeu mesmo!

  10. reginaldo said,

    outubro 13, 2011 @ 10:12

    Olá Augusto,
    Grato deveras pela sua mensagem e pelos elogios. Força central é o gradiente da energia potencial central, multiplicado por Fico feliz que você não ficou com dúvidas sobre as passagens matemáticas; isso mostra que o Nerdyard está cumprindo sua missão. Valeu o feedback!
    Com relação a uma discussão sobre energia potencial central, posso dizer que é uma função que só depende da distância ao centro de força, . O potencial é a energia potencial por unidade de massa. Assim, a força sobre uma partícula, por unidade de massa, é multiplicado pelo gradiente do potencial. Quando multiplicamos essa força pela massa da partícula, obtemos que a força é vezes o gradiente da energia potencial. Não há muito mais para dizer sobre isso além do que a própria postagem diz. Espero que esse comentário ajude.
    Mais uma vez, estou muito grato pelo seu comentário!

  11. reginaldo said,

    outubro 13, 2011 @ 10:17

    Olá Guga,
    Um exemplo sobre a aplicação de potencial central é o gerado por uma partícula pontual, de massa colocada na origem.

  12. reginaldo said,

    outubro 13, 2011 @ 10:23

    Olá Augusto,
    Já respondi tudo, mas parece que desta vez você deseja mais do que um só exemplo de potencial central. Então, lá vai mais um: considere uma casca esférica de massa total , centrada na origem. O potencial dentro dessa distribuição de massa, com a massa toda distribuída uniformemente sobre a casca esférica, é uma constante. Fora da casca esférica, no entanto, o potencial é dado por

    Outro exemplo é o do potencial de uma distribuição esférica e uniforme de massa, também centrada na origem. Enfim, qualquer energia potencial por unidade de massa que só dependa da distância a um ponto é um exemplo de potencial central. Espero que agora esse conceito já esteja esclarecido. Valeu!

  13. luiz said,

    agosto 26, 2015 @ 1:27

    Salve professor Reginaldo! Primeiramente gostaria de elogiar o seu blog, ele esta de parabéns ótimas deduçoes e ótimos resultados, porem nao consigo entender por que o senhor usar a letra N pra expressar o torque!

  14. reginaldo said,

    agosto 26, 2015 @ 10:12

    Olá Luiz,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos elogios! Você fez uma pergunta difícil! Eu realmente não sei porque N é usado como torque. Talvez seja, simplesmente, porque T já é usado para energia cinética e M, para massa. Então, a próxima letra, depois de L, desocupada, era o N e, então, o torque ficou sendo N. Mas essa é só uma explicação. Como, em princípio, podemos usar quaisquer letras para representar as quantidades físicas, fica difícil saber o que estava pensando o primeiro cara que usou determinada letra para alguma coisa. Eu usei o N porque o livro do Symon também usa e este tem sido adotado como livro-texto do curso. No entanto, é comum vermos a letra grega ser usada para representar o torque. Eu realmente não sei porque o Symon usou N para o torque; isto, só posso imaginar. Mas, se você parar para pensar, por que T é usado para energia cinética? Por que Q é usado para carga? Enfim, existe uma infinidade de letras usadas para as mais diversas coisas que não sei explicar. Você sabe explicar algumas dessas? Grato mais uma vez pela bela pergunta! Você me fez pensar…

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