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Figuras de Lissajous | Nerdyard

Figuras de Lissajous

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Agora que já expliquei como é que podemos fazer gráficos usando Maxima e Gnuplot, vamos tentar fazer alguns exercícios visuais. A ideia aqui é superpor dois movimentos harmônicos simples em duas direções perpendiculares e ver o que é descrito no plano. Por exemplo, tomemos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  x\left(t\right) & = & \displaystyle A_{1}\cos\left(\omega_{1}t+\varphi_{1}\right)\end{array}

e

\begin{array}{rcl} \displaystyle  y\left(t\right) & = & \displaystyle A_{2}\cos\left(\omega_{2}t+\varphi_{2}\right).\end{array}

O vetor posição desse ponto é dado por

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \mathbf{r}\left(t\right) & = & \displaystyle \mathbf{\hat{x}}x\left(t\right)+\mathbf{\hat{y}}y\left(t\right).\end{array}

Quando as frequências { \omega_{1}} e { \omega_{2}} são diferentes, o vetor posição, conforme o tempo passa, descreve uma trajetória no plano { xy} que é chamada de figura de Lissajous. Um exemplo pode ser visto no pequeno programa para Maxima que está ilustrado na figura abaixo.

Programa para obter figura de Lissajous

Você pode baixar o meu programinha através do link: http://nerdyard.com/lissajous.zip.

Coloquei alguns valores completamente sem a menor vergonha e obtive a figura abaixo. Note que para executar todas as células do programa, basta clicar sobre o menu “Cell” e escolher “Evaluate All Cells”. Veja que nesse gráfico, porque as frequências escolhidas no programa são comensuráveis, obtemos uma figura fechada. Já se, ao invés de termos

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \omega_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{3}{4}\omega_{2}\end{array}

desse gráfico, escolhermos, por exemplo,

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \omega_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\omega_{2},\end{array}

a figura fica bem mais curiosa, como mostra a figura abaixo, onde deixei o tempo correr o dobro do que no gráfico anterior.

Veja que a trajetória não se fecha, pois as frequências são incomensuráveis agora. :cool:

Agora é com você; divirta-se modificando os valores das amplitudes, frequências e fases do programa e vendo os gráficos que são produzidos no plano { xy.} Divirta-se! :wink:

Música desta postagem: Hungarian Rhapsodies – No. 2 in C-sharp minor de Franz Liszt, por Wui-Ming Gan

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