Expansão em série de Taylor

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É muito curioso o fato de que os estudantes de graduação, ao atenderem aos primeiros cursos de Física, ainda não tiveram a oportunidade de aprender a expandir funções em torno de um ponto e, a despeito disso, muitas vezes esses cursos expõem tópicos envolvendo análises e aproximações que requerem o conceito de série de Taylor. Para tentar suprir essa necessidade, vou me apoiar no fato de que derivadas e integrais tornam-se familiares logo no primeiro curso de Cálculo e, baseado nesses conceitos, vou deduzir aqui a série de Taylor.

Comecemos, portanto, com a relação

que é óbvia, pois

Agora, tentemos resolver a integral que apareceu acima usando o método de integração por partes, isto é,

Sejam, portanto,

e

Então, podemos usar, sem nenhum problema,

pois, como estamos tomando e fixos, ou seja, não variam nessa integração,

e obtemos, em nosso caso,

isto é,

Portanto,

Para continuarmos, vamos generalizar o que fizemos acima para a integral

mas agora consideremos a seguinte função:

para todo número natural Vamos, como fizemos acima, integrar por partes. Sejam, portanto,

e

Logo,

e

Assim, uma integração por partes fornece

isto é,

ou seja,

Como

para todo natural a integração por partes que acabamos de fazer implica em

e, como também podemos escrever

segue que temos uma fórmula iterativa:

Até agora nosso problema original está desenvolvido até o ponto em que podemos escrever

Mas, rapidamente, reconhecemos que essa equação também pode ser escrita em termos da função que definimos acima. Portanto,

Usando a fórmula iterativa que deduzimos acima, podemos escrever

Por sua vez, pode ser iterada novamente e, assim,

isto é,

ou seja,

Podemos continuar com essa iteração indefinidamente, obtendo:

isto é,

ou seja,

Para um número natural muito grande. Então, a expansão em série da função pode ser escrita assim:

isto é,

O que acontece quando tende a infinito? Analisemos

Essa quantidade é chamada de resto da série de Taylor. Se as derivadas de forem todas contínuas em então, pelo teorema do valor médio, existe um número entre e tal que

Logo,

Quando

a função é dita analítica em e podemos escrever

isto é,

onde adotamos a convenção de que

Pronto! Agora você já pode expandir em série de Taylor qualquer função analítica!

😎

Música desta postagem: Hungarian Melody D. 817 de Franz Schubert, por Didier Brest

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4 respostas para “Expansão em série de Taylor”

  1. Expansão de Taylor!

    Bela exposição.
    Quando Taylor descobriu essa maravilhosa técnica, mal sabia ele que estaria escrevendo mais metade da física, de então e da que viria!…
    Exageros à parte, mas me fascina uma técnica relativamente simples ter a tanta penetração nas coisas da física. Além de simplificar funções matemáticas, ainda faz revelações quando se quer até a segunda ordem, ou mais. Se eu fosse religioso, diria: um milagre, eis o que é. Se não fosse Taylor, quem seria?

  2. Olá José Victor,
    Grato deveras pelo seu comentário entusiasmado! Eu também tenho uma certa veneração por expansões de Taylor. Valeu mesmo por dividir sua visão!

  3. Prezado Reginaldo,

    Muito bom o conteúdo. Eu tenho necessidade de estudar a respeito da série de Taylor, mas os livros trazem apenas a aplicação. Não tem a fase histórica e o real conteúdo do desenvolvimento de Taylor. Você saberia me informar algum livro que contenha esse assunto?
    Muito obrigado.

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