Expansão de denominadores de distância

Dando uma aula de Físca 3, notei que é uma novidade para estudantes de terceiro semestre como usar expansão em série de potências para simplificar denominadores de distância. Por exemplo, a força de Coulomb, que uma carga pontual na posição exerce sobre outra carga pontual na posição é escrita como

A figura abaixo ilustra essa situação.

Em muitos problemas, como no caso do cálculo do campo elétrico de um dipolo elétrico, precisamos expandir, por exemplo,

para o caso em que

Nesta postagem apresento uma fórmula prática para fazer essas expansões em potências de usando a série de Taylor. Especificamente, vou justificar a utilização da fórmula seguinte, muito usada em problemas de Física 3:

para e qualquer potência real positiva ou negativa.

O módulo de qualquer vetor é obtido da seguinte fórmula:

para o produto escalar entre dois vetores, e onde é o ângulo entre esses vetores, como indicado na figura abaixo.

Como essa fórmula vale para quaisquer vetores e podemos tomar e aí obtemos

já que, neste caso, pois o próprio vetor faz um ângulo nulo com relação a si próprio. Então,

No caso acima, temos que

e, portanto,

com

e

Queremos calcular o inverso de Então,

que também pode ser escrita assim:

já que

Também queremos aproximar essa quantidade para o caso em que é muito menor do que a unidade. Como fazer aparecer esse quociente na expressão acima?

Veja que

Portanto, quando podemos escrever

Veja que agora temos, entre parênteses, quocientes e Se você está em dúvida onde aparece a primeira ordem, veja que

onde os versores e só indicam direções e sentidos e, portanto, têm módulos unitários. O produto escalar é, assim, apenas o cosseno do ângulo entre esses versores e, então, é um número de magnitute menor ou igual a Com isso, fica evidente que o segundo termo entre parênteses na expressão acima para o inverso do cubo da distância é de ordem que já é, por hipótese, muito menor do que Obviamente, o termo acima é menor ainda do que Sendo assim, em módulo, a quantidade

é muito menor do que em módulo e podemos escrever

Estamos exatamente no ponto em que temos que expandir em uma série de potências de Para tornar a análise mais geral, podemos considerar o caso em que temos com uma potência real qualquer. Podemos, então, definir uma função assim:

e usar uma expansão de Taylor em potências de Na postagem Expansão em série de Taylor eu demonstro a fórmulação de Taylor e, no presente caso, até primeira ordem em temos:

É fácil ver que

Logo,

e

Portanto, deduzimos a fórmula muito conveniente e que é repetidas vezes utilizada em cursos de graduação:

para quaisquer e

Para nosso caso particular,

e, assim,

Só que estamos interessados em uma expansão até primeira ordem em e, portanto, por consistência, desprezamos o terceiro termo, ficando com

Se quiséssemos manter o terceiro termo na expansão, então não deveríamos ter usado a série de Taylor acima até primeira ordem em apenas, mas teríamos que ter incluído mais o termo proporcional a isto é,

onde

e, assim,

Com isso, a fórmula prática já não fica tão simples:

Na nossa particular aplicação, obtemos

Veja que esta fórmula vai incluir termos de ordem e quando elevarmos ao quadrado os termos que estão entre parênteses. Mas isso é inconsistente com nossa aproximação de mantermos até segunda ordem em Então, só manteremos o quadrado de que, como já vimos acima, é um termo que, ao quadrado, vai fornecer uma contribuição de segunda ordem em Logo,

ou seja,

ou ainda,

Note que estamos usando a definição do versor

😎

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