Exemplo de transfomada de Fourier de pacote de ondas

Acabei de publicar uma postagem sobre a evolução temporal e a dispersão de um pacote de ondas livres. No entanto, lá eu não abordei a transformada de Fourier básica, de uma representação do pacote de ondas em termos do momentum, para a representação da posição. Na presente postagem vou fazer os detalhes desse procedimento para o caso de um pacote de ondas gaussiano, mas que é um pouco mais geral daqueles usualmente vistos em livros-texto: nosso pacote apresentará ambos os valores esperados de posição e momentum não nulos.

Comecemos com uma função de onda na representação de momentum dada por:

onde e são constantes reais, com A correspondente função de onda na representação de posição é obtida pela transformada de Fourier da Eq. (1):

A substituição da Eq. (1) na Eq. (2) dá:

Para simplificar a notação durante os cálculos, sejam:

e

Então, substituindo as Eqs. (4) e (5) na Eq. (3) fornece:

O próximo passo é completar o quadrado do argumento da exponencial aparecendo no integrando da Eq. (6):

isto é:

Podemos agora colocar a Eq. (7) de volta na Eq. (6) e obter:

Pronto, a integração da gaussiana da Eq. (8) pode ser feita de forma análoga à da postagem Integral da gaussiana e o resultado que procuramos é:

onde já foi substituída a Eq. (4).

Veja que o valor esperado da variável é calculado, usando a Eq. (9), assim:

isto é:

Podemos, a partir de agora, pensar nos parênteses angulares, como indicativos da operação de tomar o valor esperado, como mostra a Eq. (10). Assim, para qualquer quantidade dependente da variável digamos definimos seu valor esperado por:

Como:

fica fácil agora calcular o valor esperado de

ou seja:

onde usamos as Eqs. (4) e (10), além da integral da gaussiana.

Para resolver a integral do segundo membro da Eq. (12), considere o seguinte resultado, que vale para qualquer constante real e positiva:

Empregando a Eq. (13) na Eq. (12), obtemos:

que, segundo a definição introduzida pela Eq. (11), nada mais é do que:

Então, das Eqs. (14) e (15) segue que:

que, por definição, é a chamada variância da variável

A incerteza desta variável é dada por:

Das Eqs. (16) e (17), obtemos, explicitamente, a incerteza da posição:

que dá também a relação de incerteza para o caso da função de onda gaussiana:

Em virtude da Eq. (19), que é uma igualdade e não uma desigualdade, dizemos que os pacotes de ondas gaussianos são chamados de pacotes de mínima incerteza.

Usando a Eq. (18) na Eq. (9) dá nossa função de onda para a posição:

Se você quiser treinar um pouquinho, mostre que o valor esperado do momentum é, de fato, mas faça isso usando a Eq. (20). Mostre também que a incerteza do momentum é, de fato, usando a Eq. (20). A dica aqui é representar o momentum como o operador diferencial:



😎

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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