Estacionariedade e correlação temporal em dados financeiros

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Hoje em dia há uma quantidade imensa de dados financeiros sendo armazenados, negócio a negócio, pelo mundo afora. Gratuitamente, é possível conseguir facilmente dados financeiros diários. Para a modelagem da dinâmica estocástica de preços de um ativo financeiro, podemos utilizar várias escalas de tempo e medir várias funções de preços. Eu, em particular, tenho sempre utilizado os preços diários de ações da BM&FBovespa, que também podem ser obtidos gratuitamente. A função de preços de minha preferência é a que dá o retorno relativo,

e, dependendo da aplicação, o logaritmo do quociente entre o preço de fechamento atual e o anterior,

Além dessas nossas escolhas, o quinto capítulo do livro de Rosario Nunzio Mantegna e de H. Eugene Stanley cita várias outras que podem ser usadas.

A figura abaixo mostra um gráfico obtido do site muito útil, br.advfn.com. Nesse gráfico, vemos as barras de preços correspondentes a cada quinze minutos de negociação das ações preferenciais da Petrobras. Na parte de baixo da figura, há os volumes de negociação e podemos notar como o final do pregão tipicamente concentra um volume maior do que os outros intervalos de quinze minutos do dia. Assim, a quantidade de negócios varia durante o dia e a distribuição de negócios não é a mesma dia após dia, não sendo, portanto, estacionária.

Processos estocásticos estacionários

A distribuição de probabilidade de preços, em princípio, para ser consistente com essas observações da evolução dos preços, pode ser representada por uma função dependente do preço e do tempo, O valor esperado do preço é, portanto, dado por

Seja a função a distribuição de probabilidade conjunta de observar o preço no instante e o preço no instante A função de autocorrelação é, então, definida como:

Um processo estocástico geral, para ser completamente caracterizado, requer a função para todo e A maioria dos estudos aborda apenas até a função de dois pontos,

Um processo estocástico é dito estritamente estacionário se sua distribuição de probabilidades é invariante por translações temporais. Há, porém, outras definições menos restritivas de estacionariedade, conforme ensina o livro de Rosario Nunzio Mantegna e de H. Eugene Stanley:

  • Definição ampla de processo estacionário: 


    onde

    e

    Para essa definição, a variância é independente do tempo.

  • Processos estocásticos assintoticamente estacionários ocorrem quando as previsões estatísticas para 

    não dependem de se

  • Processos estocásticos estacionários de -ésima ordem ocorrem quando

    vale apenas para

  • Processos estocásticos estacionários em um intervalo acontecem quando

    para cada e dentro do intervalo considerado.

Correlação

A autocorrelação também é denotada por

Também temos a definição da autocovariância:

Para processos estacionários, segue:

com

Notemos que

onde é a variância do processo. Para intervalos de tempo muito longos, a autocovariância tende a zero, isto é,

para

Isso acontece porque e tendem a se descorrelacionar para tempos muito distintos e, portanto, nesse caso,

Um típico exemplo é quando o processo tem média nula e

Nesse caso,

e é chamado de tempo de correlação do processo estocástico, que mede a memória típica do valor da variável

Consideremos, agora, apenas processos estocásticos estacionários. Seja a variável estocástica obtida pela soma de variáveis estocásticas,

onde estamos indicando os instantes de tempo considerados através do índice da variável:

Então, podemos escrever:

Como estamos supondo que o processo em consideração é estacionário, então, de acordo com o exposto acima,

e

Como

segue que

Também suponhamos que os tempos são separados por um intervalo fixo, isto é,

Assim,

Podemos, portanto, escrever:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Logo,

Para colocarmos essa igualdade na forma do livro de Mantegna e Stanley, usamos:

e

Assim,

Notemos que

isto é,

No limite em que é muito grande, temos, aproximadamente,

isto é,

Quando

isto é, o limite dessa soma é finito, dizemos que as variáveis estocásticas têm correlação de curto alcance. Já quando

dizemos que as variáveis estocásticas têm correlação de longo alcance.

No caso contínuo, ao invés de verificarmos a finitude da soma acima, utilizamos a integral temporal da autocorrelação:

quando

No caso de uma partícula em movimento browniano, a autocorrelação é dada por

A distribuição de frequências dessa função de autocorrelação é obtida pela sua transformada de Fourier:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Para baixas frequências, temos o que se chama ruído branco. Para frequências altas, temos o processo de Wiener, caracterizado por uma densidade espectral que varia com o inverso do quadrado da frequência. O caso acima ilustra correlação de curto alcance.

No caso de correlação de longo alcance, podemos escrever

com

Nesse caso, a integral da função de autocorrelação diverge. Um caso típico de correlação de longo alcance, encontrada muitas vezes em circuitos eletrônicos, é o do ruído 1/f; no caso acima, isso ocorre para

No caso de escalas de tempo maiores do que o tempo de correlação para processos com correlação de curto alcance, as densidades de probabilidades condicionais são dadas por

Esse tipo de processo é chamado de markoviano; bastam as densidades de probabilidades de primeira ordem e condicionais de segunda ordem para ser completamente determinado. Como exemplo, temos



😎

Música desta postagem: Sonata No. 14 “Moonlight” de Ludwig van Beethoven, por Andrys

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