Espalhamento de Rutherford entre duas partículas

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Usando a abordagem de apenas um corpo, já apresentei o espalhamento de uma partícula carregada por outra de mesmo sinal de carga, fixa na origem, na postagem sobre a seção de choque diferencial de Rutherford. No entanto, tipicamente as duas partículas podem mover-se e, nesse caso, precisamos da abordagem de dois corpos. Aqui vou apresentar a relação entre o referencial do centro de massa e o referencial do laboratório.

Referencial do laboratório

Seja a velocidade inicial da partícula de massa que incide sobre a partícula alvo, de massa inicialmente em repouso no referencial do laboratório. Sejam e os vetores posição das partículas de massas e respectivamente, com relação ao referencial do laboratório. Depois da colisão, a partícula de massa é espalhada com velocidade final O ângulo de espalhamento, é obtido através do produto escalar entre as velocidades inicial e final da partícula de massa isto é,

onde .

Referencial do centro de massa

As coordenadas do centro de massa são dadas por

onde

As coordenadas relativas à partícula alvo são dadas por

e a massa reduzida é dada por

As coordenadas do centro de massa das partículas de massas e são dadas, respectivamente, por

e

onde usei as Eqs. (2), (3) e (4). Veja que os vetores posição e dão as coordenadas das partículas incidente e alvo com relação à posição do centro de massa que, nesse referencial, é a origem.

O espalhamento da partícula reduzida

As coordenadas da partícula reduzida são medidas com respeito à posição da partícula alvo, e são dadas pela Eq. (4). Nesse referencial, antes da colisão, a partícula reduzida também tem velocidade inicial pois a partícula alvo está inicialmente parada no referencial do laboratório e permanece sempre parada no seu referencial, que é, por definição, o mesmo da partícula reduzida. Para você ver isso, basta tomar a derivada temporal da Eq. (4), que dá

isto é,

No tempo inicial quando as partículas estão muitíssimo distantes,

que, antes da colisão, dá

como antecipado intuitivamente. Após a colisão, no entanto, a partícula reduzida, de massa terá uma velocidade relativa à partícula alvo dada por Nesse referencial da partícula alvo, o ângulo de espalhamento é denotado por e é obtido, em termos das velocidades, como

Na ausência de forças externas, o movimento nesse referencial se dá como se a partícula reduzida fosse espalhada por uma força central a partir da origem do sistema de coordenadas relativas, isto é, a partir da posição da partícula alvo, de massa Nessas circunstâncias, o resultado desse espalhamento, para duas cargas e conforme calculado na postagem sobre a seção de choque diferencial de Rutherford, é

já que naquela postagem a hipótese era a de que uma partícula fosse espalhada por um centro espalhador fixo na origem, que é exatamente o caso no referencial fixo sobre a partícula alvo. Agora precisamos expressar o resultado da Eq. (10) em termos do ângulo

Ângulo de espalhamento no referencial do laboratório e no referencial do centro de massa

Da Eq. (9), vemos que precisamos calcular a velocidade assintótica da partícula reduzida, para podermos ter a relação com a velocidade da partícula de massa no referencial do laboratório. Para isso, note que a Eq. (8) fornece

Mas, como foi dito antes da Eq. (1),

Das Eqs. (7) e (11) segue que

isto é,

ou seja,

Na ausência de forças externas, a velocidade do centro de massa é constante e, portanto,

onde usei a Eq. (2) e o fato de que a velocidade inicial da partícula de massa é e a da partícula de massa é nula. Substituindo a Eq. (14) na Eq. (13) e usando a Eq. (12) vem

Substituindo as Eqs. (12) e (15) na Eq. (11) resulta em

isto é,

onde também usei a Eq. (3). Substituindo a Eq. (16) na Eq. (1), obtemos

Usando a Eq. (9), podemos reescrever a Eq. (17) assim:

Segue da Eq. (18) que

isto é, usando a Eq. (16),

ou seja,

ou ainda, extraindo a raiz quadrada,

A divisão da Eq. (19) pela Eq. (18) fornece

isto é,

Nos livros-texto [1], a é expressa em termos dos valores da velocidade relativa da partícula incidente. Assim, usando a Eq. (6), observe que

e

Dividindo o módulo da Eq. (21) pelo módulo da Eq. (22) fornece

Com a substituição da Eq. (23) na Eq. (20) ficamos com

O caso de colisões elásticas

Quando a colisão é elástica, a energia cinética total é conservada. Na postagem sobre dois corpos, mostrei que a energia cinética total pode ser escrita como

Como a velocidade do centro de massa é constante na ausência de forças externas, segue que

isto é,

e, da Eq. (23), segue que

Usando a Eq. (25) na Eq. (24) dá

Seção de choque diferencial para massas iguais

Agora vou expressar a Eq. (10) em termos do ângulo Para isso, escrevemos a Eq. (10) assim:

Para segue da Eq. (26) que

isto é,

e, portanto,

Substituindo a Eq. (28) na Eq. (27) resulta em

isto é,



😎

Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Fantasy in F-sharp minor Op. 28 – “Sonate Ecossaise” (Con moto agitato: Andante) de Felix Mendelssohn, por John Robson

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