Equilíbrio em um campo de forças

Vamos considerar um campo de forças agindo em cada ponto de um fluido. Para tornar as imagens mentais menos abstratas, pensemos que o fluido seja água em um copo. O campo de forças que logo vem à mente é o gravitacional, mas esse não precisa ser o único. Por exemplo, se a água tiver uma quantidade excessiva de íons, digamos, positivos, distribuídos uniformemente, em um campo elétrico externo aparecerá uma força elétrica em cada ponto do fluido carregado. Como, nesse exemplo, o campo elétrico poderia ser em qualquer direção, a força total sobre cada elemento da água no copo seria igual à soma vetorial da força peso e da força elétrica. Essa resultante de forças poderia ser em qualquer direção do espaço, já que o campo elétrico poderia ser colocado em qualquer direção. Esse caso particular ilustra porque agora vamos supor que no copo d’água haja, em cada elemento de volume, uma força resultante com três componentes espaciais. Seja, portanto, o vetor força resultante por unidade de volume exercida sobre o ponto Note que agora, ao contrário do que supusemos no exemplo da solução iônica acima, a força sobre a água não será, necessariamente, suposta uniforme. A figura abaixo ilustra um elemento de volume da água no copo.

Para que o elemento permaneça em equilíbrio, a resultante de forças sobre ele deverá ser nula. Ao longo da direção a resultante de forças será

onde é a pressão no ponto e estamos calculando as forças sobre as superfícies do elemento em e Note que estamos tomando os pontos nos centros das faces do elemento para calcular as pressões e tomamos a força por unidade de volume no centro do elemento. Veja que no cálculo da força resultante ao longo da direção multiplicamos pelo volume do elemento e as pressões pelas respectivas áreas das faces perpendiculares ao eixo Podemos dividir toda a equação acima pelo elemento de volume Para que a equação seja satisfeita, portanto, devemos ter

isto é,

Podemos agora tomar o limite em que o elemento de volume vai a zero. Nesse caso, todos os incrementos, e vão a zero. Quando e vão a zero, o resultado acima fica

Finalmente, quando o incremento vai a zero, obtemos uma derivada com relação a da pressão no membro esquerdo dessa equação. Como temos três variáveis espaciais das quais depende a pressão, isto é, a pressão é uma função de e precisamos de uma notação que distinga esse fato do que normalmente fazemos para funções de uma só variável. Assim, ao invés de escrevermos a derivada da pressão com relação a como escreveremos Essa quantidade, é chamada de derivada parcial de com relação a Uma derivada usual, como é chamada de derivada ordinária de com relação a Assim, supondo equilíbrio de forças ao longo do eixo encontramos a equação

De maneira completamente análoga ao que acabamos de fazer para obter essa equação, podemos também encontrar

e

Note que, com essas equações, podemos escrever o vetor força por unidade de volume assim:

As derivadas parciais são, antes de qualquer coisa, derivadas e, portanto, são operadores lineares, isto é, a derivada parcial da soma é igual à soma das derivadas parciais. Além disso, abusando um pouco da notação, podemos também escrever o seguinte:

Com essa inspiração notacional, definimos o operador nabla como

de forma que a equação para a força por unidade de volume agora fica

O operador nabla atuando sobre a pressão dá o que chamamos de gradiente da pressão. Assim, o gradiente é escrito como

Parece difícil, mas não é.

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