Equações de Lagrange

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Para entender rapidamente a ideia por trás das equações de Lagrange, pense em uma partícula de massa movendo-se ao longo do eixo sob a ação de uma força A segunda lei de Newton dá a equação de movimento para essa partícula:

Usando a notação em que cada derivada é indicada com um ponto sobre a função sendo derivada, também podemos escrever essa equação como

Se a força é conservativa, pode ser obtida de uma energia potencial e a equação de movimento fica

Como o momentum da partícula é definido como

a equação de movimento também pode ser expressa como

Note que a energia cinética da partícula é dada por

Então, veja que o momentum pode ser escrito em termos da energia cinética assim:

Bem esquisito em princípio, não é mesmo? Mas que pode, pode! Então,

não é verdade? Pois é. Agora, com essa expressão para a derivada temporal do momentum, podemos reescrever a equação de movimento da partícula como

No presente caso, a energia cinética não depende da coordenada da partícula. Como a energia potencial não depende da velocidade da partícula, pois é uma energia potencial, segue que podemos definir uma função lagrangeana como

e a equação de movimento fica, em termos de assim:

onde usei no membro esquerdo e no membro direito. Assim,

já que e

já que Então, substituindo esses dois resultados em ({*}), segue a equação de Lagrange para o presente caso simples:

O objetivo desta postagem é deduzir as equações de Lagrange para mais do que uma coordenada, usando sistemas de coordenadas generalizadas. Para isso, considere o preâmbulo abaixo sobre mudanças de coordenadas.

Mudanças de coordenadas

Na postagem sobre O pêndulo de Foucault um sistema de coordenadas girante foi considerado. Nessa postagem eu escrevi os versores de em termos dos versores de ou seja, dos versores que não giram por estarem fixos no espaço. Essa relação define uma mudança de coordenadas para descrever o mesmo sistema físico. Um vetor posição de uma partícula de massa pode ser escrito em termos das coordenadas de ou em termos das coordenadas de Então, sejam e as coordenadas da partícula relativas ao sistema de coordenadas e sejam e sua coordenadas relativas a Assim, o vetor posição pode ser escrito como

relativamente a mas também pode ser escrito como

relativamente a Podemos escrever as coordenadas e em termos das coordenadas e Sim, claro! Para obter em termos de e precisamos escrever o produto escalar de ambos os membros da Eq. (2) por

Como os versores e são ortonormais, segue que

isto é,

onde já usei a Eq. (1).

Na postagem sobre O pêndulo de Foucault os versores de foram definidos em termos dos versores de como

e

onde e são constantes reais. Substituindo as Eqs. (4), (5) e (6) na Eq. (3), obtemos

Veja que é uma função de e Procedendo de maneira análoga, é possivel encontrarmos também as coordenadas e em termos das coordenadas e

e

Também é possível escrevermos as coordenadas e em termos das coordenadas e Nesse caso, para obter por exemplo, devemos multiplicar escalarmente ambos os membros da Eq. (1) por

isto é,

onde já usei a Eq. (2). Substituindo as Eqs. (4), (5) e (6) na Eq. (10), obtemos

Veja que é uma função de e Analogamente, também podemos escrever

e

O exemplo acima ilustra o fato de que, em geral, uma mudança de coordenadas pode depender das coordenadas cartesianas originais e do tempo. Assim, um sistema caracterizado por vetores posição, precisamos de coordenadas cartesianas e, também, coordenadas generalizadas Em geral, teremos

para onde e são as coordenadas do -ésimo vetor posição dos vetores posição que caracterizam o sistema. Como vimos na ilustração acima, as coordenadas cartesianas também podem ser escritas em termos das coordenadas generalizadas e, portanto,

e

para

Dedução da equação de Lagrange

Agora vamos nos concentrar no caso de termos um sistema caracterizado pelos vetores posição de partículas puntiformes. Como ilustrado no exemplo do começo desta postagem, vamos escrever a energia cinética no caso de coordenadas:

onde é a massa da -ésima partícula. Mas, das Eqs. (15), (16) e (17) seguem, respectivamente,

e

O momentum generalizado, conjugado à coordenada generalizada é definido como

Derivando a Eq. (18) parcialmente em relação a obtemos

isto é,

Das Eqs. (19), (20) e (21) seguem, respectivamente,

e

Substituindo as Eqs. (24), (25) e (26) na Eq. (23), obtemos

Derivando com relação ao tempo a Eq. (27), obtemos

Usando a segunda lei de Newton, a primeira soma no segundo membro da Eq. (28) pode ser reescrita como

onde é a força resultante sobre a partícula de massa e é a -ésima componente da chamada força generalizada. Aqui estou usando a notação, por exemplo, para indicar a componente do vetor

Segue das Eqs. (15), (16) e (17) que as derivadas e também são funções das coordenadas generalizadas, e do tempo Sendo assim, a derivada temporal de por exemplo, é dada por

onde usei a Eq. (19). Analogamente, usando as Eqs. (20) e (21), podemos escrever

e

Substituindo as Eqs. (29), (30), (31) e (32) na Eq. (28), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei a Eq. (18). As Eqs. (33), para são as equações de Lagrange.

Na postagem Conservação de energia para um sistema de partículas falei sobre o caso em que a força sobre qualquer partícula de um sistema de partículas é conservativa e, portanto, pode ser deduzida de uma energia potencial. Nesse caso, a energia potencial pode ser escrita como

Note que não depende das velocidades e não depende explicitamente do tempo. A força sobre a -ésima partícula é dada por

Quando as forças sobre as partículas do sistema são conservativas, a força generalizada, Eq. (29), pode ser reescrita como

isto é, em virtude da Eq. (34),

A substituição da Eq. (36) na Eq. (33) resulta em

isto é,

onde definimos a função lagrangeana como

como não depende de para segue da Eq. (38) que

A substituição da Eq. (39) na Eq. (37) resulta em

para que é a forma mais popular das equações de Lagrange.

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Fantasia in C minor de Johann Sebastian Bach, por Chris Breemer

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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5 Comments for Equações de Lagrange

  1. kleber said,

    novembro 7, 2011 @ 23:13

    Caro Reginaldo,
    Acompanho seu blog há algum tempo e admiro muitas coisas aqui contidas. Preferia ter enviado esta mensagem por e-mail, mas não encontrei nenhum link, pois talvez não seja o lugar ideal para isso.
    Bem, gostaria de saber como incorporar o editor da Codecogs, como fez em seu blog, antes do campo de comentários. Agradeço desde já.
    Meu e-mail: kleber_kilhian@terra.com.br
    Um abraço!
    P.S.: A trilha sonora é fantástica!

  2. reginaldo said,

    novembro 8, 2011 @ 10:18

    Olá Kleber,
    Grato deveras pelos elogios e pelo interesse. Quanto à trilha sonora, eu também agradeço à minha mulher, a Lia, que tem escolhido as músicas e me ajudado a inserí-las nas postagens.
    Para incorporar o editor da Codecogs, existem instruções no site deles. Eu, especificamente, no caso do WordPress, fiz o seguinte:
    (1) Abra o arquivo comments.php em um editor de texto de sua preferência, pode ser até mesmo no prório ambiente do WordPress;
    (2) Pouco antes do final, você deverá encontrar as seguintes linhas de comando:

    <p>
    <textarea name=”comment” id=”comment” cols=”70″ rows=”10″ tabindex=”4″></textarea>
    </p>

    Os parâmetros não precisam ser iguais, dependendo do tema que você escolher no seu WordPress.

    (3) Antes dessas linhas de comando, insira o seguinte:

    <p><b>Editor de Equações</b> (<a href=”http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php” target=”_blank” rel=”nofollow”>www.codecogs.com/latex/eqneditor.php</a>)</p>
    <div id=”editor” style=”width:550px”></div>
    <textarea id=”testbox” rows=”3″ cols=”40″></textarea>
    <img id=”equation” align=”middle” />

    <script type=”text/javascript”>
    EqEditor.embed(‘editor’,”,’urc,col,fn,ex,hi,fav,i|sty,spa,bin,sym,for,sub,acc,ace,arr|ope,
    bra,gel,geu,rel:format,font,size,dpi,inline’)
    var a=new EqTextArea(‘equation’, ‘testbox’);
    EqEditor.add(a,false);
    </script>

    A explicação de como isso funciona você encontra no site deles: http://www.codecogs.com/latex/about.php

    Espero que isso ajude você! Boa sorte e mais uma vez obrigado!

  3. kleber said,

    novembro 8, 2011 @ 21:13

    Boa noite Reginaldo.
    Obrigado pelo pronto atendimento. Vou tentar incorporar no blogger e ver o resultado. Depois te aviso se deu certo ou não.
    Um abraço!

  4. Matheus said,

    fevereiro 19, 2012 @ 1:29

    Seu blog é fantástico ! Só o conheci hoje , mas já assinei o Feed !

    Espero que continue com esse belo trabalho !

    Abraços

  5. reginaldo said,

    fevereiro 21, 2012 @ 10:51

    Olá Matheus,

    Grato deveras pelos seu comentário e pelos elogios! Sua aprovação é meu estímulo para continuar! Valeu!

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