Equações da hidrodinâmica

Equação de continuidade

Um fluido em movimento tem, em cada ponto, uma velocidade que pode mudar como função do tempo. Esse campo de velocidades em pontos distintos pode ter valores diferentes em um mesmo instante de tempo. O campo de velocidades é representado por vetores ${ \mathbf{v}=\mathbf{v}\left(\mathbf{r},t\right)}$ em cada ponto ${ \mathbf{r}}$ do fluido, em cada instante ${ t.}$ No entanto, a massa do fluido é sempre conservada em todo ponto. Uma forma de expressar essa conservação de massa é através da equação de continuidade. Vamos deduzi-la. Seja uma região ${ V}$ do fluido. Se há variação de massa no interior de ${ V,}$ então é porque a massa entra ou sai dessa região. Pelo elemento de área ${ dA}$ da figura abaixo, durante um intervalo de tempo ${ dt,}$ uma massa ${ dm}$ de fluido sai da região ${ V.}$

O volume ocupado pela quantidade de fluido de massa ${ dm}$ é dado pela área da base ${ dA}$ multiplicada pela altura, que é ${ \left|\mathbf{v}\right|dt\cos\alpha.}$ Mas,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cos\alpha & = & \displaystyle \displaystyle\frac{\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{\left|\mathbf{v}\right|},\end{array}$

onde ${ \mathbf{\hat{n}}}$ é a normal externa à superfície fechada ${ S,}$ que é a fronteira da região ${ V.}$ Com essas observações, podemos escrever:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dm & = & \displaystyle \rho\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}dtdA,\end{array}$

onde ${ \rho}$ é a densidade do fluido. A massa no interior da região ${ V}$ é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle M & = & \displaystyle \int_{V}dV\,\rho,\end{array}$

onde ${ dV}$ é um elemento de volume da região ${ V.}$ A variação dessa massa durante o intervalo de tempo ${ dt}$ deve ser igual à soma de todas as massas ${ dm}$ que saem de ${ V}$ por cada elemento de superfície ${ dA,}$ isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dM & = & \displaystyle -\oint_{S}dA\,\rho\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}dt,\end{array}$

onde o sinal de menos diz que quando ${ dm}$ sai de ${ V,}$ então a massa ${ M}$ em ${ V}$ diminui, ou seja, ${ dM}$ é negativa. Note que se a velocidade do fluido fizer um ângulo maior do que ${ 90^{\circ}}$ com a normal ${ \mathbf{\hat{n}},}$ então ${ dm}$ entrará no volume ${ V}$ e o sinal de menos na frente da integral, para o particular elemento de área ${ dA}$ onde ${ dm}$ entra em ${ V,}$ será cancelado pelo sinal de menos que vem do produto escalar ${ \mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}=\left|\mathbf{v}\right|\cos\alpha,}$ porque ${ \cos\alpha}$ é negativo para ${ \alpha}$ maior do que ${ 90^{\circ}.}$ Agora podemos dividir ambos os membros da equação

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dM & = & \displaystyle -\oint_{S}dA\,\rho\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}dt\end{array}$

por ${ dt}$ e obter

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{dM}{dt} & = & \displaystyle -\oint_{S}dA\,\rho\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v},\end{array}$

que é chamada de equação de continuidade. Essa equação expressa a conservação da massa no fluido e é sempre válida para todo tipo de fluido. A equação de continuidade também pode ser expressa assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{d}{dt}\int_{V}dV\,\rho & = & \displaystyle -\oint_{S}dA\,\rho\mathbf{\hat{n}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v},\end{array}$

já que a massa no interior de ${ V}$ é dada por

$\begin{array}{rcl} \displaystyle M & = & \displaystyle \int_{V}dV\,\rho.\end{array}$

Forças em um fluido em movimento

Um fluido típico, como a água ou o mel, é viscoso, embora a água tenha viscosidade bem menor do que a do mel. A viscosidade decorre de forças dissipativas, isto é, de atrito, entre uma camada do fluido em movimento relativo a outra camada adjacente, dissipando energia. A viscosidade acaba fazendo com que apareçam forças tangenciais sobre superfícies de elementos do fluido, além da pressão, que é normal a essas superfícies. Aqui vou desprezar a viscosidade e tratar o que usualmente é chamado de fluido ideal. Nesse caso, podemos ignorar forças dissipativas e forças superficiais aos elementos do fluido. Assim, sobre um elemento de fluido ideal só agem forças volumétricas externas, como a gravitacional, e pressões sobre suas superfícies do elemento. A figura abaixo mostra um elemento do fluido ideal e as forças que agem sobre ele.

Agora, ao invés da condição de equilíbrio, utilizamos a segunda lei de Newton e, ao longo do eixo ${ x,}$ por exemplo, escrevemos:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{\hat{x}}f_{x}\Delta x\Delta y\Delta z+\mathbf{\hat{x}}p\left(x,y+\Delta y/2,z+\Delta z/2\right)\Delta y\Delta z\\ -\mathbf{\hat{x}}p\left(x+\Delta x,y+\Delta y/2,z+\Delta z/2\right)\Delta y\Delta z & = & \displaystyle \mathbf{\hat{x}}\rho\Delta x\Delta y\Delta za_{x},\end{array}$

onde ${ p}$ é a pressão do elemento de fluido, ${ \rho}$ é sua densidade de massa, ${ a_{x}}$ é a componente ${ x}$ da aceleração do elemento de fluido e ${ \rho\Delta x\Delta y\Delta z}$ é sua massa. Dividindo tudo pelo volume ${ \Delta x\Delta y\Delta z}$ e tomando o limite em que ${ \Delta x,}$ ${ \Delta y}$ e ${ \Delta z}$ vão a zero, resulta na equação:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{\hat{x}}f_{x}+\mathbf{\hat{x}}\lim_{\Delta x\rightarrow0}\displaystyle\frac{p\left(x,y,z\right)-p\left(x+\Delta x,y,z\right)}{\Delta x} & = & \displaystyle \mathbf{\hat{x}}\rho a_{x},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho a_{x} & = & \displaystyle f_{x}-\displaystyle\frac{\partial p}{\partial x},\end{array}$

já que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{\partial p}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow0}\displaystyle\frac{p\left(x+\Delta x,y,z\right)-p\left(x,y,z\right)}{\Delta x}.\end{array}$

Repetindo o raciocínio para os eixos ${ y}$ e ${ z,}$ dá também:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho a_{y} & = & \displaystyle f_{y}-\displaystyle\frac{\partial p}{\partial y}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho a_{z} & = & \displaystyle f_{z}-\displaystyle\frac{\partial p}{\partial z}.\end{array}$

Logo, em notação vetorial, escrevemos:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho\mathbf{a} & = & \displaystyle \mathbf{f}-\boldsymbol{\nabla}p.\end{array}$

Quando a força externa for conservativa, isto é, existe uma densidade de energia potencial ${ u}$ tal que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{f} & = & \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}u,\end{array}$

então podemos escrever

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho\mathbf{a} & = & \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}u-\boldsymbol{\nabla}p=-\boldsymbol{\nabla}\left(u+p\right).\end{array}$

No caso da força gravitacional perto da superfície da Terra,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle u & = & \displaystyle \rho gz+C,\end{array}$

onde ${ C}$ é uma constante arbitrária e ${ z}$ é a coordenada vertical. Então, a equação de movimento para o fluido fica

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho\mathbf{a} & = & \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}\left(\rho gz+p\right)\end{array}$

e a constante ${ C}$ não precisa aparecer, já que seu gradiente é nulo, isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \boldsymbol{\nabla}C & = & \displaystyle \mathbf{0}.\end{array}$

Veja que quando o fluido está em equilíbrio, a aceleração deve ser nula, já que a força resultante é nula no equilíbrio e, portanto, a anulação da aceleração segue da segunda lei de Newton. Nesse caso, encontramos que a equação de movimento do fluido ideal,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho\mathbf{a} & = & \displaystyle \mathbf{f}-\boldsymbol{\nabla}p,\end{array}$

resulta na condição de equilíbrio:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \mathbf{0} & = & \displaystyle \mathbf{f}-\boldsymbol{\nabla}p,\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \boldsymbol{\nabla}p & = & \displaystyle \mathbf{f},\end{array}$

como obtivemos anteriormente.

A equação de Bernoulli

Em um fluido em regime estacionário, a velocidade em cada ponto não depende do tempo, isto é, ${ \mathbf{v}=\mathbf{v}\left(\mathbf{r}\right).}$ Aqui vou considerar um fluido incompressível ideal em movimento, no regime estacionário. Em um fluido assim, o campo de velocidades forma linhas de campo que não se cruzam jamais. Essas linhas de campo de velocidades são chamadas de linhas de corrente. Se imaginamos uma curva fechada no fluido, todas as linhas de corrente que cruzam a curva fechada, porque não se cruzam, formam um tubo de corrente. A figura abaixo mostra um tubo de corrente que quando é fino o suficiente chama-se filete de corrente.

As linhas de corrente em um fluido estacionário não se cruzam porque, caso se cruzassem em um ponto, nesse ponto, no mesmo instante de tempo, teríamos duas velocidades distintas do campo; mas, em cada ponto somente temos uma partícula do fluido e, portanto, somente uma velocidade da partícula, que é a velocidade do fluido no ponto. Olhando a figura, vemos que há uma quantidade de massa ${ dm}$ que atravessa a área ${ A_{1}}$ do filete de corrente durante o intervalo de tempo ${ dt}$ e caminha até a área ${ A_{2}.}$ Como o fluido é incompressível, a mesma quantidade de massa ${ dm}$ atravessa a área ${ A_{2}}$ durante o intervalo de tempo ${ dt.}$ Em ${ A_{1}}$ a velocidade é ${ \mathbf{v}_{1}}$ e, em ${ A_{2},}$ a velocidade é ${ \mathbf{v}_{2}}$ e, portanto, há trabalho ${ dW}$ realizado pelas forças que agem sobre o fluido durante esse intervalo de tempo ${ dt.}$ A variação da energia cinética dá esse trabalho:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dW & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}dm\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}-\displaystyle\frac{1}{2}dm\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}.\end{array}$

As forças que agem sobre o segmento de filete de corrente mostrado na figura são a gravitacional e as forças de pressão que o restante de fluido faz sobre as áreas ${ A_{1}}$ e ${ A_{2}.}$ Assim, o trabalho da força gravitacional, ${ dW_{\mathrm{grav}},}$ é, como vimos, a diferença entre a energia potencial em torno de ${ A_{1}}$ e a energia potencial gravitacional na região de ${ A_{2}.}$ Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dW_{\mathrm{grav}} & = & \displaystyle dm\, g\left(z_{1}-z_{2}\right).\end{array}$

O trabalho das forças de pressão, ${ dW_{p},}$ é dado pela força ${ p_{1}A_{1}}$ multiplicada pelo deslocamento ${ \left|\mathbf{v}_{1}\right|dt,}$ com sinal positivo, já que o deslocamento é ao longo do sentido da força, menos a força ${ p_{2}A_{2}}$ multiplicada pelo deslocamento ${ \left|\mathbf{v}_{2}\right|dt,}$ onde o sinal de menos se deve ao fato de que essa força tem sentido contrário ao deslocamento. Assim,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dW_{p} & = & \displaystyle p_{1}A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt-p_{2}A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt.\end{array}$

Note que ${ A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt}$ é o volume da região ocupada por ${ dm}$ em torno de ${ A_{1}}$ e ${ A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt}$ é o volume de ${ dm}$ na região de ${ A_{2}.}$ Como o fluido é incompressível, sua densidade é ${ \rho}$ em todos os pontos que ocupa e, portanto,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt & = & \displaystyle \displaystyle\frac{dm}{\rho}=A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt.\end{array}$

Então,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dW_{p} & = & \displaystyle p_{1}A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt-p_{2}A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt=\left(p_{1}-p_{2}\right)\displaystyle\frac{dm}{\rho}.\end{array}$

Como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle dW & = & \displaystyle dW_{\mathrm{grav}}+dW_{p},\end{array}$

segue que

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}dm\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}-\displaystyle\frac{1}{2}dm\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2} & = & \displaystyle dm\, g\left(z_{1}-z_{2}\right)+\left(p_{1}-p_{2}\right)\displaystyle\frac{dm}{\rho},\end{array}$

isto é,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2} & = & \displaystyle g\left(z_{1}-z_{2}\right)+\left(p_{1}-p_{2}\right)\displaystyle\frac{1}{\rho},\end{array}$

ou seja,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2} & = & \displaystyle \rho g\left(z_{1}-z_{2}\right)+p_{1}-p_{2}.\end{array}$

Rearranjando os termos podemos ainda escrever essa equação assim:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2}+\rho gz_{2} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1}+\rho gz_{1}.\end{array}$

Como as regiões de ${ A_{1}}$ e ${ A_{2}}$ são quaisquer áreas transversais do filete, segue que, em qualquer filete de corrente,

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}\right|^{2}+p+\rho gz & = & \displaystyle C,\end{array}$

onde ${ C}$ é uma constante ao longo do filete. Essa é a chamada equação de Bernoulli.

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2 respostas para “Equações da hidrodinâmica”

Pericles disse:

24 de agosto de 2010 às 9:30

Um agradecimento pela excelente lição.
Estou acompanhando os posts diariamente.
E desculpe-me por aquela pergunta doutro dia.
Adeus. Tenha um bom dia.
reginaldo disse:

25 de agosto de 2010 às 15:41

Olá Péricles,
Eu é que agradeço pelos seus comentários. Sua pergunta foi muito boa porque através dela pude expressar meu ponto de vista a respeito do http://nerdyard.com.
Grato deveras mais uma vez e um abraço,
reginaldo

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