Energia, momentum e momentum angular

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O que eu gosto em mecânica clássica é que tudinho sai das três leis de Newton. Isso é ótimo! A segunda lei de Newton, então, dá origem a uma quantidade imensa de relações úteis. É a equação dinâmica da mecânica clássica. Para uma partícula pontual de massa com vetor posição e sendo atuada por uma força a segunda lei estabelece que

onde

é o momentum linear, ou simplesmente momentum, da partícula.

Energia cinética e trabalho

O trabalho exercido pela força ao longo de uma trajetória que sai do ponto e chega no ponto é dado pela integral de linha da força sobre a curva da trajetória:

onde e são os vetores posição dos pontos e respectivamente. Essa integral pode ser parametrizada em termos do tempo uma vez que o vetor posição da partícula, ao longo da trajetória do ponto ao ponto é uma função do tempo. Então, trocamos de variável escrevendo

e trocando os limites de integração para e que são os instantes de tempo em que a partícula, respectivamente, sai do ponto e chega ao ponto Logo,

onde

denota a velocidade instantânea da partícula.

Agora dê uma olhadinha nisto:

pela segunda lei de Newton e, portanto,

Como estamos falando de uma partícula, é natural pensarmos que sua massa fique constante ao longo da passagem do tempo. Então,

e, assim,

Mas, veja só:

Pela regra da derivada do produto escalar, sabemos que

e, portanto,

Consequentemente, podemos escrever que

Como a massa é constante no tempo, podemos colocar dentro dos parênteses e ficar com

Agora, o produto escalar de dois vetores é dado pelo produto de seus módulos, multiplicado pelo cosseno do ângulo compreendido entre eles. O ângulo entre o vetor e ele mesmo é zero, cujo cosseno é a unidade. Logo,

Assim,

e, portanto,

A integral da derivada de uma função é igual ao valor da função e, portanto,

A energia cinética da partícula é definida como

e, com essa definição, podemos escrever o trabalho para a partícula ir do ponto até o ponto como a variação de sua energia cinética ao longo da trajetória, isto é,

com

e

Momentum linear

Da segunda lei de Newton, podemos escrever:

A quantidade

é chamada de impulso da força durante o intervalo de tempo entre e Logo, o teorema que acabamos de verificar estabelece que a variação do momentum linear é igual ao impulso da força no intervalo de tempo durante o qual essa variação de momentum ocorre.

Momentum angular

O torque da força relativamente à origem do sistema de coordenadas, é dado por

onde é o vetor posição desde a origem até o ponto de aplicação da força isto é, é o vetor posição da partícula pontual de massa medido a partir da origem. Note que, usando a segunda lei de Newton, o torque também pode ser escrito assim:

Mas, o momentum é definido como

e, portanto,

já que a massa é constante. Assim,

Agora, note a seguinte propriedade:

onde usei a regra da derivada do produto. Como o vetor velocidade da partícula é paralelo a ele mesmo, segue que

Assim, concluímos que

e, dessa forma,

isto é,

Definimos o momentum angular como

e, portanto, o torque sobre a partícula, relativamente à origem do sistema de coordenadas, é igual à variação temporal do momentum angular relativo à origem:

A forma integral dessa equação fica

😎

Música desta postagem: 13 Preludes Op. 32 G-sharp minor (Allegro) de Sergei Rachmaninov, por Anne Riegler

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