Energia gravitacional de um sistema de partículas

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Vamos considerar partículas de massas …, A pergunta agora é: qual a energia gravitacional de um sistema com essas partículas? Antes de mais nada, preciso dizer a você como calcular a energia de um sistema de duas partículas. A força que a partícula de massa exerce sobre a partícula de massa é dada por

onde e são os vetores posição das partículas de massas e respectivamente. Vamos supor que a partícula de massa esteja fixa e que a partícula de massa desloque-se do ponto a um ponto infinitesimalmente próximo, O trabalho da força para esse pequeno deslocamento será dado por

Para simplificar, vamos considerar um caso especial. Escolhamos o sistema de coordenadas com a origem exatamente sobre a partícula de massa que permanece fixa; assim, e

O caso especial que vamos considerar será o do trabalho da força quando a partícula de massa percorre uma circunferência de raio em torno da origem, no sentido anti-horário. Escolhamos o plano dessa trajetória circular como sendo o plano e adotemos coordenadas polares. O elemento de caminho sobre essa trajetória será, portanto,

Um ponto da trajetória terá um vetor posição dado por

O trabalho exercido nessa trajetória, que chamaremos de será calculado através de uma integral de caminho fechado:

Quando estamos trabalhando em coordenadas polares, sabemos que

e, portanto,

Curioso esse resultado, não? O trabalho da força gravitacional em uma trajetória circular em torno de uma massa pontual é nulo. Note o integrando: em cada elemento da trajetória, o produto escalar por é nulo. Mas isso é óbvio: a força é radial e, ao longo de uma trajetória circular, os deslocamentos serão todos ortogonais à direção da força.

E se o caminho fechado não for uma circunferência? Nesse caso, o elemento de caminho será, em coordenadas polares,

onde, para simplificar a notação, definimos

Note que agora

não é mais uma constante e a expressão para o trabalho fica

onde o caminho fechado agora não é mais uma circunferência, mas uma curva fechada qualquer no plano Porque e são ortogonais, segue que

O curioso é que agora a integral é sobre a variável apenas e, portanto, podemos escrever

onde é a distância radial do ponto inicial da trajetória e é a distância radial do ponto final da trajetória. O interessante é que, para uma curva plana fechada, o ponto inicial também é o ponto final e, portanto,

Com isso, o trabalho fica

A conclusão é que o trabalho da força gravitacional em qualquer caminho fechado plano é nulo.

E se o caminho não for plano? Nesse caso, o resultado será o mesmo. Para vermos isso, suponhamos um caminho qualquer no espaço, fechado, que não necessariamente possa ser desenhado completamente em um plano. Um elemento de caminho, no espaço, terá também a coordenada

onde aqui a coordenada mede a distância perpendicular ao eixo O vetor posição da partícula de massa será, portanto,

O trabalho fica, portanto,

isto é,

Toda curva no espaço pode ser parametrizada. No nosso caso o parâmetro pode ser o tempo, isto é, a partícula de massa parte do ponto inicial da trajetória no instante e chega no ponto final de sua trajetória no instante Não importa como realizamos esse percurso, o que é certo é que as coordenadas e da partícula serão funções do tempo. Em particular,

e

Logo,

Mas,

e

isto é,

É uma identidade muito interessante a seguinte:

isto é,

Com esses resultados, podemos agora escrever o trabalho como

isto é,

Mas,

e, assim,

Como o caminho é fechado,

e, portanto, para qualquer caminho fechado no espaço,

E se não fechássemos o caminho? Isto é, e se nós parássemos a integração em um instante anterior a É simples:

Outra forma de calcular o trabalho realizado pela força gravitacional para o deslocamento da partícula de massa consiste em utilizar a segunda lei de Newton assim:

A velocidade da partícula de massa é dada por

Dessa forma, o trabalho fica

É fácil ver que a identidade seguinte vale:

Como

segue que

Logo, o trabalho também pode ser escrito como

Integrando, vem

Essa expressão valerá sempre que a segunda lei de Newton, para massa constante, valer e pode ser enunciada como afirmando que o trabalho de uma força para um deslocamento da partícula é igual à variação da energia cinética da partícula no percurso realizado. Mas como, no caso especial que temos considerado aqui,

Igualando as duas expressões para o trabalho, obtemos

Rearranjando os termos podemos escrever também

Até agora, a trajetória da partícula tem sido suposta completamente arbitrária e o instante também pode ser tomado arbitrariamente. Além disso, a posição e a velocidade iniciais também podem ser tomadas arbitrariamente. Por causa disso, a relação acima pode ser interpretada como uma lei de conservação, isto é, se em tivermos

então, para qualquer sempre teremos

A grandeza tem dimensão de energia e, portanto, pode ser tomada como a energia total da partícula de massa na presença da massa que está fixa, e com energia cinética dada por Essas observações justificam definirmos a energia potencial de interação entre as partículas de massas e como

Essa expressão foi escrita supondo a partícula de massa fixa na origem; quando essa partícula estiver em um ponto qualquer, a expressão da energia potencial fica

Note que a energia de interação é sempre negativa, significando que é uma interação atrativa; quanto mais próximas as partículas, tanto menor sua energia.

No caso de três partículas, usando o princípio da superposição, podemos escrever a energia total de interação do sistema assim:

A energia de interação é obtida somando as contribuições de todos os pares de partículas. Se tivermos quatro partículas, a energia escreve-se

Essa mesma expressão pode ser escrita também assim:

Podemos ainda escrever essa mesma expressão de forma mais compacta:

Outra maneira de escrevermos essa mesma expressão é notarmos que

Mas,

e

Somando membro a membro essas quatro equações resulta em

Em outras palavras, a energia potencial total também pode ser escrita como

Agora fica fácil escrever a energia potencial para partículas:

ou

😎

Música desta postagem: Piano Quartet in C minor Op. 60 de Johannes Brahms, por Hector Sanchez (piano), Joanna Maurer (violin), Masumi Rostad (viola) e Tim Park (cello)

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Nerdyard

2 respostas para “Energia gravitacional de um sistema de partículas”

  1. O princípio da superposição realmente vale para a energia? Não temos de considerar a autoenergia das partículas?

  2. Olá, Geovane!
    Primeiramente, grato deveras pelo seu comentário! Valeu mesmo!
    Com relação à sua pergunta, nós estamos calculando a energia potencial de interação do sistema de partículas. Se as partículas forem afastadas, essa energia diminui até chegar a zero, embora as energias individuais de cada partícula ainda continue a mesma que cada partícula tinha antes de as afastarmos. A energia própria, ou, como você chamou, auto-energia de uma partícula é, classicamente, infinita se pensar que há uma distribuição de cargas que se concentra em um só ponto geométrico do espaço. Mas isso não acontece dentro da mecânica quântica, em que uma partícula elementar não possui estrutura interna e, portanto, não possui uma distribuição de cargas.

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *