Energia gravitacional de um sistema de partículas

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Vamos considerar partículas de massas …, A pergunta agora é: qual a energia gravitacional de um sistema com essas partículas? Antes de mais nada, preciso dizer a você como calcular a energia de um sistema de duas partículas. A força que a partícula de massa exerce sobre a partícula de massa é dada por

onde e são os vetores posição das partículas de massas e respectivamente. Vamos supor que a partícula de massa esteja fixa e que a partícula de massa desloque-se do ponto a um ponto infinitesimalmente próximo, O trabalho da força para esse pequeno deslocamento será dado por

Para simplificar, vamos considerar um caso especial. Escolhamos o sistema de coordenadas com a origem exatamente sobre a partícula de massa que permanece fixa; assim, e

O caso especial que vamos considerar será o do trabalho da força quando a partícula de massa percorre uma circunferência de raio em torno da origem, no sentido anti-horário. Escolhamos o plano dessa trajetória circular como sendo o plano e adotemos coordenadas polares. O elemento de caminho sobre essa trajetória será, portanto,

Um ponto da trajetória terá um vetor posição dado por

O trabalho exercido nessa trajetória, que chamaremos de será calculado através de uma integral de caminho fechado:

Quando estamos trabalhando em coordenadas polares, sabemos que

e, portanto,

Curioso esse resultado, não? O trabalho da força gravitacional em uma trajetória circular em torno de uma massa pontual é nulo. Note o integrando: em cada elemento da trajetória, o produto escalar por é nulo. Mas isso é óbvio: a força é radial e, ao longo de uma trajetória circular, os deslocamentos serão todos ortogonais à direção da força.

E se o caminho fechado não for uma circunferência? Nesse caso, o elemento de caminho será, em coordenadas polares,

onde, para simplificar a notação, definimos

Note que agora

não é mais uma constante e a expressão para o trabalho fica

onde o caminho fechado agora não é mais uma circunferência, mas uma curva fechada qualquer no plano Porque e são ortogonais, segue que

O curioso é que agora a integral é sobre a variável apenas e, portanto, podemos escrever

onde é a distância radial do ponto inicial da trajetória e é a distância radial do ponto final da trajetória. O interessante é que, para uma curva plana fechada, o ponto inicial também é o ponto final e, portanto,

Com isso, o trabalho fica

A conclusão é que o trabalho da força gravitacional em qualquer caminho fechado plano é nulo.

E se o caminho não for plano? Nesse caso, o resultado será o mesmo. Para vermos isso, suponhamos um caminho qualquer no espaço, fechado, que não necessariamente possa ser desenhado completamente em um plano. Um elemento de caminho, no espaço, terá também a coordenada

onde aqui a coordenada mede a distância perpendicular ao eixo O vetor posição da partícula de massa será, portanto,

O trabalho fica, portanto,

isto é,

Toda curva no espaço pode ser parametrizada. No nosso caso o parâmetro pode ser o tempo, isto é, a partícula de massa parte do ponto inicial da trajetória no instante e chega no ponto final de sua trajetória no instante Não importa como realizamos esse percurso, o que é certo é que as coordenadas e da partícula serão funções do tempo. Em particular,

e

Logo,

Mas,

e

isto é,

É uma identidade muito interessante a seguinte:

isto é,

Com esses resultados, podemos agora escrever o trabalho como

isto é,

Mas,

e, assim,

Como o caminho é fechado,

e, portanto, para qualquer caminho fechado no espaço,

E se não fechássemos o caminho? Isto é, e se nós parássemos a integração em um instante anterior a É simples:

Outra forma de calcular o trabalho realizado pela força gravitacional para o deslocamento da partícula de massa consiste em utilizar a segunda lei de Newton assim:

A velocidade da partícula de massa é dada por

Dessa forma, o trabalho fica

É fácil ver que a identidade seguinte vale:

Como

segue que

Logo, o trabalho também pode ser escrito como

Integrando, vem

Essa expressão valerá sempre que a segunda lei de Newton, para massa constante, valer e pode ser enunciada como afirmando que o trabalho de uma força para um deslocamento da partícula é igual à variação da energia cinética da partícula no percurso realizado. Mas como, no caso especial que temos considerado aqui,

Igualando as duas expressões para o trabalho, obtemos

Rearranjando os termos podemos escrever também

Até agora, a trajetória da partícula tem sido suposta completamente arbitrária e o instante também pode ser tomado arbitrariamente. Além disso, a posição e a velocidade iniciais também podem ser tomadas arbitrariamente. Por causa disso, a relação acima pode ser interpretada como uma lei de conservação, isto é, se em tivermos

então, para qualquer sempre teremos

A grandeza tem dimensão de energia e, portanto, pode ser tomada como a energia total da partícula de massa na presença da massa que está fixa, e com energia cinética dada por Essas observações justificam definirmos a energia potencial de interação entre as partículas de massas e como

Essa expressão foi escrita supondo a partícula de massa fixa na origem; quando essa partícula estiver em um ponto qualquer, a expressão da energia potencial fica

Note que a energia de interação é sempre negativa, significando que é uma interação atrativa; quanto mais próximas as partículas, tanto menor sua energia.

No caso de três partículas, usando o princípio da superposição, podemos escrever a energia total de interação do sistema assim:

A energia de interação é obtida somando as contribuições de todos os pares de partículas. Se tivermos quatro partículas, a energia escreve-se

Essa mesma expressão pode ser escrita também assim:

Podemos ainda escrever essa mesma expressão de forma mais compacta:

Outra maneira de escrevermos essa mesma expressão é notarmos que

Mas,

e

Somando membro a membro essas quatro equações resulta em

Em outras palavras, a energia potencial total também pode ser escrita como

Agora fica fácil escrever a energia potencial para partículas:

ou

😎

Música desta postagem: Piano Quartet in C minor Op. 60 de Johannes Brahms, por Hector Sanchez (piano), Joanna Maurer (violin), Masumi Rostad (viola) e Tim Park (cello)

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