Emissão de momentum por uma partícula carregada em movimento arbitrário

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Uma partícula carregada acelerada não irradia apenas energia, pois também emite momentum linear e momentum angular. Aqui vamos analisar a emissão de momentum linear por uma partícula de carga executando um movimento arbitrário. Os campos de radiação, e produzidos por uma carga que descreve uma trajetória arbitrária são deduzidos a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert:

e

onde

e

Seja o momentum por unidade de ângulo sólido emitido pela partícula durante o intervalo de tempo Seja a superfície esférica, centrada em , com raio Dentro do ângulo sólido em torno do vetor o momentum leva um intervalo de tempo para passar através do elemento de área A lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria fornece a expressão para o momentum emitido, através de por unidade de tempo e por elemento de ângulo sólido:

O sinal negativo global expressa o fato de que é o momentum que a carga emite, enquanto que que aparece na lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria, expressa o ganho de momentum pela carga. Como e podemos escrever, em analogia com o caso da emissão de energia,

Como segue que

e, porque é ortogonal a obtemos

Assim,

Da expressão para o tempo retardado,

segue que

e, portanto,

Sabendo que

podemos proceder de maneira análoga ao caso da emissão de energia e calcular a taxa de emissão de momentum linear pela carga puntiforme No entanto, aqui vamos utilizar argumentos de covariância para inferir a resposta. Para baixíssimas velocidades comparadas com consideremos apenas as contribuições de primeira ordem em Então,

e

Integrais sobre a superfície de um número ímpar de componentes de são nulas e, portanto,

Para calcularmos essa integral, consideremos, digressivamente, o resultado

Assim, por exemplo,

Mas, analogamente ao que fizemos no caso da emissão de energia, podemos calcular as derivadas acima assim:

Logo,

e, fazendo obtemos

Agora, tomando mais uma derivada da equação acima, antes de tomarmos isto é,

obtemos

implicando, quando escolhemos que

conforme adiantamos acima. É fácil agora tomarmos mais uma derivada da equação acima, antes de tomarmos isto é,

ou seja,

Assim, com obtemos

Com essa digressão sobre integrais angulares de componentes da normal à superfície esférica obtemos

e

Portanto, até primeira ordem em podemos escrever

isto é,

Agora que temos a taxa de emissão de momentum para baixas velocidades, podemos procurar por uma expressão covariante desse resultado. Ao invés de consideremos onde é o tempo próprio da partícula no instante Como

e, portanto,

até primeira ordem em podemos escrever, nessa ordem,

Também é um fato que

e, assim, até primeira ordem em vale a aproximação

Logo, nessa ordem de aproximação,

Podemos definir também uma aceleração em termos do tempo próprio como

Se definirmos também a componente do tipo temporal:

isto é,

vemos que forma um quadrivetor, já que é um quadrivetor e é um invariante. Notemos que

Mas,

e, com isso,

isto é,

Até primeira ordem em portanto,

e podemos escrever, nessa ordem,

No caso da emissão de energia, vimos que a taxa de emissão de energia é dada por

ou seja, à luz de nossos cálculos acima para podemos escrever

ou ainda,

Essa expressão é exata, valendo para qualquer valor de A taxa de energia emitida, dividida por é a componente temporal de um quadrivetor, como esperado. Com esse resultado e a equação

vemos que

que é, por si só, uma equação covariante e, portanto, deve valer em qualquer sistema de referência, inclusive com Podemos inferir, portanto, que, ao invés de uma aproximação, temos

exatamente e, portanto, a emissão de momentum pode ser inferida como sendo dada pela parte espacial dessa equação, isto é,

ou seja,

Se seguirmos ao longo das linhas que seguimos no caso da emissão de energia, encontraremos exatamente esse resultado, sem ter que inferi-lo. O cálculo direto, além de direto, é mais simples do que o apresentado aqui. No entanto, a presente inferência ilustra como normalmente podemos obter equações covariantes através da generalização de suas contra-partes válidas para velocidades não relativísticas.

😎

Música desta postagem: June (Barcarolle) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Alfonso Bertazzi

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1 Comentário for Emissão de momentum por uma partícula carregada em movimento arbitrário

  1. » Emissão de momentum angular por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    junho 2, 2010 @ 15:48

    […] de forma análoga ao caso da emissão de energia e da emissão de momentum linear, […]

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