Emissão de energia por uma partícula carregada em movimento arbitrário

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Vamos calcular a potência irradiada por uma partícula em movimento arbitrário. Os campos de radiação, e produzidos por uma carga que descreve uma trajetória arbitrária são deduzidos a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert:

e

onde

e

É importante notarmos que os campos são dados para o ponto arbitrário de observação, , no instante arbitrário de observação, Nesse ponto do espaço-tempo, entretanto, a radiação que ali se encontre, necessariamente terá sido a emitida pela partícula no instante retardado e na posição O vetor de Poynting de radiação, nesse caso, fica

Como

segue que

Seja a energia por unidade de ângulo sólido emitida pela partícula durante o intervalo de tempo Seja a superfície esférica, centrada em , com raio Dentro do ângulo sólido em torno do vetor a energia leva um intervalo de tempo para passar através do elemento de área Podemos escrever, portanto,

isto é,

Como essa mesma quantidade de energia é a que a partícula emite em um intervalo segue que a potência emitida pela partícula, no ponto de sua trajetória, é dada por

onde a integral é sobre todo o ângulo sólido compreendido por Como

segue que

e, portanto,

Com isso, vemos que a potência irradiada pela partícula é dada por

isto é,

Outra maneira de deduzir essa mesma expressão para a potência irradiada é a seguinte. Considere que a superfície esteja centrada no ponto e que o cálculo que estamos fazendo seja no instante Durante um intervalo de tempo antes de a partícula estava em A radiação se propaga com velocidade de magnitude Então, no instante toda a energia emitida pela partícula entre os instantes e se encontra entre duas superfícies esféricas de raios e a primeira, centrada em e a segunda, centrada em Note que a segunda superfície esférica, contém a primeira, pois teve mais tempo para se expandir com velocidade Um ângulo sólido a partir de define, sobre um elemento de área de normal dada por e magnitude O elemento de volume entre esse elemento de área de e a superfície esférica de raio e centrada em contém a energia que a partícula irradiou, durante no ângulo sólido Seja o ponto de onde calculamos a normal Então, sendo o vetor que vai de até a superfície esférica seguem as relações:

e

Como segue que

Assim,

e, como vem

isto é,

A densidade de energia no ponto é dada por

Como segue que

e, porque é ortogonal a obtemos

Logo,

A energia irradiada pela partícula durante o intervalo e dentro do ângulo sólido é, portanto,

Com isso,

isto é,

como anteriormente.

O numerador do integrando pode ser escrito como

isto é,

ou seja,

Assim,

As integrais acima são sobre os ângulos que definem a direção e o sentido do versor enquanto é um vetor fixo na integração. Podemos, portanto, escolher o eixo ao longo de e integrar sobre os ângulos e Logo,

Também podemos escrever

que, usando o resultado da integral calculada logo acima, resulta em

isto é,

Finalmente, a integral restante pode ser calculada de forma análoga e obtemos

Mas,

e, portanto,

Com isso,

Utilizando esses resultados, concluímos que a potência irradiada pela partícula carregada é dada por

isto é,

Podemos simplificar ainda mais essa expressão observando que

e, portanto,



😎

Música desta postagem: Symphony No. 5 in C minor Op. 67 de Ludwig van Beethoven, por Andreas Pfaul e Patrik Pietschmann

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3 Comments

  1. » Emissão de momentum por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 31, 2010 @ 11:12

    […] O sinal negativo global expressa o fato de que é o momentum que a carga emite, enquanto que que aparece na lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria, expressa o ganho de momentum pela carga. Como e podemos escrever, em analogia com o caso da emissão de energia, […]

  2. » Emissão de momentum angular por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    junho 2, 2010 @ 15:47

    […] de forma análoga ao caso da emissão de energia e da emissão de momentum linear, […]

  3. Leonardo Andreta de Castro said,

    junho 3, 2010 @ 18:59

    Também dá para fazer a primeira das integrais “difíceis” usando que

    .

    Pena que não dá para fazer o mesmo quando o numerador está ao quadrado.

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