Elemento anular de área de uma superfície esférica

Newton levou mais de vinte anos para mostrar que a força gravitacional dentro de uma superfície esférica de massa uniformemente distribuída é nula. Minha proposta aqui é “preparar o terreno” para poder demonstrar isso usando integração. Já venho fazendo isso desde a postagem sobre a força gravitacional devida a uma distribuição de massa distribuída uniformemente sobre um anel. O que pretendo é construir a casca esférica com anéis de massa e somar suas contribuições para a força total sobre uma partícula dentro ou fora da superfície esférica.

Antes de prosseguir com esse programa, no entanto, preciso apresentar como vamos definir os anéis que cobrirão a superfície esférica. Em outras palavras, minha intenção aqui é construir uma partição composta de anéis para calcular a força de toda a casca esférica sobre a partícula de massa Dada uma superfície esférica de raio consideremos um anel estreito de raio conforme mostra a figura abaixo. Veja que desenhei um anel componente da casca separado do restante, isto é, a figura representa um anel e o local que deve ocupar para completar a superfície esférica.

A próxima figura mostra apenas um dos anéis e o traçado da superfície esférica que será constituída por anéis similares ao ilustrado. O anel tem espessura desprezível e tem largura igual a conforme a figura mostra. Também fica evidente da figura que o raio do anel é

A área aproximada do anel pode ser determinada se imaginarmos cortar o anel ao longo de sua largura e retificá-lo sobre um plano. Nesse caso, o anel se torna, aproximadamente, um retângulo de lados e Assim, a área do anel é dada por

Integrando sobre o ângulo de a obtemos a área total da superfície esférica:

isto é,

como esperado.

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6 Comments for Elemento anular de área de uma superfície esférica

  1. Rafael said,

    agosto 12, 2010 @ 20:30

    Olá professor! Parabéns pelo blog, está excelente. As explicações estão bem claras! Ajuda bastante!

  2. reginaldo said,

    agosto 12, 2010 @ 21:17

    Olá Rafael,
    Grato deveras pelo seu comentário! Fico feliz em poder ajudar!

  3. Pedro Henrique said,

    novembro 16, 2011 @ 9:48

    Olá, parabéns pela resolução bastante explicativa, vai ser muito útil em outro problema de Física que estou tentando resolver.

    Só uma coisinha: tem um erro de português ali no trecho:
    “Inegrando sobre o ângulo de (…) superfície esférica:”.

  4. Pedro Henrique said,

    novembro 16, 2011 @ 15:47

    Hum… tem uma coisa que não entendi:
    Na segunda figura, onde tem “R senθ”, não deveria ser “R cosθ”.

  5. reginaldo said,

    novembro 30, 2011 @ 9:34

    Olá Pedro Henrique,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos parabéns. Fico feliz que você esteja achando a postagem útil; é exatamente para essa finalidade que criei o Nerdyard! Também agradeço deveras por ter encontrado o erro de português, que já corrigi. Valeu!

  6. reginaldo said,

    novembro 30, 2011 @ 9:37

    Olá Pedro Henrique,
    Grato deveras pelo comentário. Na segunda figura, deve ser mesmo.

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