Elemento anular de área de uma superfície esférica

Newton levou mais de vinte anos para mostrar que a força gravitacional dentro de uma superfície esférica de massa uniformemente distribuída é nula. Minha proposta aqui é “preparar o terreno” para poder demonstrar isso usando integração. Já venho fazendo isso desde a postagem sobre a força gravitacional devida a uma distribuição de massa distribuída uniformemente sobre um anel. O que pretendo é construir a casca esférica com anéis de massa e somar suas contribuições para a força total sobre uma partícula dentro ou fora da superfície esférica.

Antes de prosseguir com esse programa, no entanto, preciso apresentar como vamos definir os anéis que cobrirão a superfície esférica. Em outras palavras, minha intenção aqui é construir uma partição composta de anéis para calcular a força de toda a casca esférica sobre a partícula de massa Dada uma superfície esférica de raio consideremos um anel estreito de raio conforme mostra a figura abaixo. Veja que desenhei um anel componente da casca separado do restante, isto é, a figura representa um anel e o local que deve ocupar para completar a superfície esférica.

A próxima figura mostra apenas um dos anéis e o traçado da superfície esférica que será constituída por anéis similares ao ilustrado. O anel tem espessura desprezível e tem largura igual a conforme a figura mostra. Também fica evidente da figura que o raio do anel é

A área aproximada do anel pode ser determinada se imaginarmos cortar o anel ao longo de sua largura e retificá-lo sobre um plano. Nesse caso, o anel se torna, aproximadamente, um retângulo de lados e Assim, a área do anel é dada por

Integrando sobre o ângulo de a obtemos a área total da superfície esférica:

isto é,

como esperado.

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Nerdyard

6 respostas para “Elemento anular de área de uma superfície esférica”

  1. Olá, parabéns pela resolução bastante explicativa, vai ser muito útil em outro problema de Física que estou tentando resolver.

    Só uma coisinha: tem um erro de português ali no trecho:
    “Inegrando sobre o ângulo de (…) superfície esférica:”.

  2. Hum… tem uma coisa que não entendi:
    Na segunda figura, onde tem “R senθ”, não deveria ser “R cosθ”.

  3. Olá Pedro Henrique,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos parabéns. Fico feliz que você esteja achando a postagem útil; é exatamente para essa finalidade que criei o Nerdyard! Também agradeço deveras por ter encontrado o erro de português, que já corrigi. Valeu!

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