Efeito da pressão decrescente da atmosfera com o aumento da altitude de um projétil

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Se lançarmos um projétil com uma velocidade inicial suficientemente alta, ele atingirá altitudes onde o ar é mais rarefeito do que próximo à superfície da Terra. Logo, a resistência do ar deve decrescer à medida que o projétil sobe. Como modelar isso? Um jeito fácil e direto é imaginar que, como a pressão, a resistência do ar também decai exponencialmente. Nesse caso, substituímos a constante da postagem sobre o movimento de um projétil por

onde é uma altura característica da ordem de km. Nesse caso, a equação de movimento do projétil fica

Vamos resolver essa equação?

Em coordenadas cartesianas, essa equação fornece:

e

Solução para

As equações para e estão acopladas à equação para mas a equação para não depende de e nem de Logo, é mais fácil resolver primeiramente a equação para que pode ser reescrita assim:

Para simplificar um pouco a notação, seja

Então, a equação para acaba dando uma equação diferencial ordinária para de primeira ordem:

No entanto, você pode observar facilmente que

não é mesmo? É só começar com

supor que é uma função de e usar a regra da cadeia para obter o resultado acima. Logo, a equação diferencial também pode ser expressa como

isto é,

Integrando ambos os membros dessa equação desde até qualquer, obtemos

Para simplificar a notação, sejam

e

Então, a equação de movimento agora fica

Como

é uma constante inicial, seja

Com isso e usando

a equação diferencial acima pode ser escrita como

E agora, como fazer para resolver essa equação?

Às vezes uma equação diferencial pode parecer difícil com uma determinada variável, mas, como acontece muitas vezes com integrais, a mesma equação pode ficar bem fácil com uma substituição de variável adequada. Tentemos a seguinte substituição para a nova variável

Substituindo essa relação na equação diferencial acima, obtemos

Como

e

obtemos

isto é,

ou seja,

Na postagem sobre o movimento de um projétil utilizei um fator integrante para resolver uma equação diferencial parecida com essa. Vou usar o mesmo truque aqui. Considere a exponencial

e multiplique ambos os membros da equação acima por esse fator integrante:

Usando a regra da derivada do produto, fica fácil ver que

isto é,

ou seja,

que é igual ao primeiro membro da equação diferencial acima (depois que a multiplicamos pelo fator integrante). Assim, a equação de movimento que queremos resolver escreve-se:

Agora basta integrar ambos os membros dessa equação desde até qualquer e o resultado fica

onde a integral que aparece no segundo membro tem variável de integração para não confundi-la com o limite superior, e definimos

Logo, para escrever em termos de usamos a equação de mudanção de variável, obtendo

isto é,

Para facilitar a notação, seja

já que não há uma forma analítica para essa integral definida. Então, com essas definições, a solução para pode ser expressa como

Dividindo membro a membro por essa equação fornece

Como

segue que

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Lembrando que

podemos ainda escrever a solução para como

Verificando a solução para

Vamos ver se essa é mesmo a solução que estamos procurando, já que parece bem complicadinha? Então, vamos lá! Para segue

Mas,

e, portanto,

como esperávamos. Façamos a derivada com relação ao tempo de

Mas,

Logo,

isto é,

Portanto,

Mas, como vimos acima,

e, assim,

como esperávamos. Resta agora verificarmos se a equação diferencial é satisfeita. Já temos a derivada primeira de com relação a isto é,

Derivando mais uma vez, obtemos

isto é,

Calculemos, agora, a soma

Assim, antes de mais nada, calculemos

isto é,

ou seja,

Lembrando que

podemos ainda escrever

Então,

isto é,

ou seja,

Somando esse resultado com

obtemos

que é a equação diferencial original. Logo, acertamos! 🙂

Soluções para e

Ainda temos que resolver as equações para e isto é,

e

O que temos a fazer, portanto, e substituir, nessas equações, o resultado que obtivemos para isto é,

com

e

Mas nas equações para e aparece apenas a exponencial Já calculamos essa exponencial e o resultado deu

Substituindo essa expressão na equação diferencial para usando a definição

obtemos

isto é,

ou seja,

Integrando de a obtemos

isto é,

Exponenciando ambos os membros dessa equação resulta em

onde

e

Como

a solução para acima pode ser reescrita como a equação diferncial ordinária de primeira ordem

Mais uma integração de a fornece

onde

e

Analogamente, para obtemos

onde

e

Veja que as soluções para e estão expressas em termos de integrais que devem ser explicitamente calculadas numericamente, já que não possuem soluções analíticas.

Limite para muito grande

Quando a constante que aparece na exponencial for muito grande, essa exponencial tende à unidade. Será que, nesse caso, a solução tende para a solução da postagem sobre o movimento de um projétil com resistência do ar independente da altitude? Para responder a essa questão, vou considerar apenas a equação diferencial para

que, no limite em que tende a uma altitude infinita, torna-se

que é a mesma da postagem sobre o movimento de um projétil. Vamos ver se a solução também se reduz à solução dessa equação mais simples? Então, considere a solução da equação com

com

e

Podemos reescrever essa solução para como

isto é,

Substituamos na expressão de

isto é,

Quando é suficientemente grande, podemos expandir a exponencial em série de potências obtendo

Mantendo só termos até primeira ordem em podemos aproximar essa exponencial assim:

Logo,

isto é,

ou seja,

Supondo suficientemente grande, podemos aproximar ainda mais essa expressão, obtendo

isto é,

É fácil fazer essas integrais; basta notarmos que

O truque agora é derivar ambos os membros dessa equação com relação a

isto é,

Derivando mais uma vez, obtemos

isto é,

Fazendo

nessas integrais, podemos escrever como

isto é,

Assim,

Então,

e, portanto, mantendo apenas os termos até ordem

Com isso,

isto é,

Agora vamos usar a expansão

se Quando é suficientemente grande, obtemos, mantendo apenas os termos até ordem

Logo, a solução para agora pode ser escrita, para suficientemente grande, assim:

isto é,

ou seja,

que é a resposta do caso em que a resistência do ar não depende da altitude, como na postagem anterior sobre o movimento de um projétil.

😎

Música desta postagem: Christ is erstanden (German Easter song – jazz version) de Michael Schütz, por Anne Riegler

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for Efeito da pressão decrescente da atmosfera com o aumento da altitude de um projétil

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.