Dois osciladores harmônicos acoplados

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Um oscilador harmônico pode ser mecanicamente modelado por um sistema composto de um corpo de massa preso a uma mola de constante elástica Em uma dimensão, podemos supor que o corpo move-se apenas horizontalmente, ao longo do eixo sem atrito algum, sob a ação apenas da força elástica devida à mola. Agora, ao invés de considerar apenas um corpo, considere dois corpos de massas e presos a molas, entre duas paredes verticais, ambos podendo mover-se apenas horizontalmente, sem atrito algum, ao longo do eixo A figura abaixo ilustra o modelo mecânico dos dois osciladores acoplados.

O corpo de massa está preso a uma mola de constante elástica que, por sua vez, está presa a uma parede à esquerda. O corpo de massa está preso a uma mola de constante elástica que, por sua vez, está presa a uma parede à direita. Ambos os corpos estão presos a uma terceira mola de constante elástica que, por hipótese é diferente de zero. Vamos considerar, como no livro do Symon [1], que o sistema fica em equilíbrio quando as massas ocupam as posições indicadas na figura como pontos de equilíbrio, posições em que, por hipótese, as molas estão completamente relaxadas. As posições dos centros dos blocos de massas e são medidas pelas variáveis e respectivamente e, como no livro [1], é positiva no sentido em que é negativa e vice-versa. A segunda lei de Newton, aplicada ao corpo de massa escreve-se

pois, quando a força que a mola de constante elástica exerce sobre o bloco de massa aponta para o sentido negativo da coordenada De forma análoga, podemos aplicar a segunda lei de Newton ao corpo de massa e escrever

pois, quando a força que a mola de constante elástica exerce sobre o bloco de massa aponta para o sentido negativo da coordenada

Veja que podemos escrever as Eqs. (1) e (2) em forma matricial:

Uma estratégia para resolver a Eq. (3) é tentar encontrar uma matriz independente do tempo que diagonalize a matriz quadrada que aparece no segundo membro. Vamos imaginar que isso seja possível. Seja essa matriz. Então, multiplicando por pela esquerda, ambos os membros da Eq. (3), vem

Vamos imaginar também que a matriz tenha inversa, isto é, existe uma matriz tal que

onde é a identidade das matrizes Então, podemos reescrever a Eq. (4) assim:

Como estamos imaginando que a matriz diagonaliza a matriz quadrada no segundo membro da Eq. (3), isso quer dizer que

onde e são os elementos da matriz diagonal, isto é, são os chamados auto-valores da matriz que estamos querendo diagonalizar. Vamos agora multiplicar ambos os membros da Eq. (7) pela matriz pela esquerda:

isto é,

onde usei a Eq. (5).

Vamos definir duas matrizes coluna:

e

onde e são valores que devemos encontrar, pois são os elementos da matriz

Substituindo a Eq. (11) na Eq. (8) dá

isto é,

ou seja,

e

Note que as Eqs. (12) e (13), em forma matricial, podem ser escritas como

isto é,

onde usei a Eq. (9). Analogamente, as Eqs. (14) e (15) podem ser escritas como

onde usei a Eq. (10). As Eqs. (16) e (17) são as equações para os chamados auto-vetores e da matriz

É por isso que, para diagonalizar a matriz escrevemos uma equação assim:

que também podemos escrever como

isto é,

Assim, resolvendo a Eq. (19) para todos os possíveis valores do número e da matriz coluna fornece a diagonalização que estamos procurando, ou seja, os auto-valores e e os auto-vetores e

Veja o que acontece se a matriz tiver inversa: podemos sempre multiplicar ambos os membros da Eq. (19) por resultando em

isto é,

ou seja,

o que daria uma solução nula para como indicam as Eqs. (9), (10) e (11) e não poderíamos diagonalizar a matriz que aparece nas Eqs. (3) e (18). Logo, a condição para não termos como solução da Eq. (19) é que não haja inversa da matriz a condição para isso é que o determinante dessa matriz seja nulo:

Vamos então calcular explicitamente a Eq. (20). Para isso vamos usar a Eq. (18) e escrever

isto é,

ou seja,

A expansão desse determinante dá

isto é,

ou seja,

A Eq. (22) tem duas soluções:

e

onde, para simplificar a notação, definimos

Podemos reescrever a Eq. (25) da seguinte forma:

isto é,

ou seja,

que mostra que é uma grandeza real. Além disso, veja que o número no radical da Eq. (25) é positivo, pois é o mesmo número do radical da Eq. (26). Então, por sua vez, a Eq. (25) mostra que tem o módulo menor do que a soma dos dois primeiros termos aparecendo em cada uma das Eqs. (23) e (24). Isso implica que e são ambos auto-valores positivos.

Vamos determinar os auto vetores. Da Eq. (16) segue que

que, com a Eq. (9), dá

isto é,

e

que são as Eqs. (12) e (13) e aqui as enumerei como acima, por conveniência. Note que só vamos encontrar soluções não triviais para este problema se e forem números não nulos. Caso contrário, encontraríamos o que não entendemos como um auto-vetor. A Eq. (12) fornece

e a Eq. (13) fornece

Note que, em virtude das Eqs. (23) e (25), as Eqs. (27) e (28) dão o mesmo resultado para o quociente pois o sistema de Eqs. (12) e (13) é indeterminado. Se você duvida que as Eqs. (27) e (28) dão a mesma coisa, veja que a Eq. (28) escreve-se

isto é,

onde multipliquei e dividi por

Como é uma das soluções da Eq. (21), segue que

e a Eq. (29) fica, então,

isto é,

que é a Eq. (27), como antecipado.

Podemos substituir a Eq. (23) na Eq. (27) para obter

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (26). De maneira completamente análoga, podemos encontrar o auto-vetor da Eq. (10), e a única coisa diferente é o sinal na frente de O resultado é, portanto,

onde e como e também são números não nulos. Note que as Eqs. (30) e (31) determinam duas das variáveis e em termos das outras duas. A indeterminação restante deverá ser obtida das condições iniciais.

Voltemos agora à Eq. (6), já com a substituição da Eq. (7), isto é,

A primeira coisa que devemos verificar agora é que há a inversa de isto é, que existe Da Eq. (11), veja que definimos em termos das variáveis e isto é,

Para que exista, o determinante de deve ser diferente de zero. Esse determinante é dado por

mas

que é diferente da unidade, pois por hipótese. Então, a Eq. (33) fornece um diferente de zero, já que e são diferentes de zero, conforme explicado mais acima. Logo, existe a inversa de e, assim, vou definir

e a Eq. (32) pode ser escrita como

isto é,

e

As Eqs. (37) e (38) são equações de osciladores harmônicos simples, cujas soluções gerais são escritas como

e

onde as constantes e devem ser encontradas através das condições iniciais.

Da Eq. (35), segue que

Usando a Eq. (11) é fácil ver que

isto é,

ou seja, a Eq. (41) pode ser escrita como

onde usei as definições das matrizes coluna e expressas pelas Eqs. (9) e (10). Logo, as soluções para e são obtidas pela substiuição da Eq. (42) na Eq. (41), isto é,

Explicitamente, podemos substituir as Eqs. (39) e (40) na Eq. (43) e obter

Substituindo as Eqs. (9) e (10) na Eq. (44) fornece

que pode ser reescrita como

Vamos agora impor as condições iniciais. Em a Eq. (45) fornece

isto é,

ou seja,

e

Multiplicando a Eq. (46) por e subtraindo a Eq. (47) dá

isto é,

Note que

de acordo com nossa discussão mais acima. Veja que, pela Eq. (33), que é não nulo, conforme a análise que fizemos anteriormente.

Substituindo a Eq. (48) na Eq. (46) dá

isto é,

ou seja,

Vamos agora tomar a derivada temporal da Eq. (45), isto é,

Em a Eq. (50) fornece

isto é,

ou seja,

e

Multiplicando a Eq. (51) por e subtraindo a Eq. (52) fornece

isto é,

Substituindo a Eq. (53) na Eq. (51) dá

isto é,

ou seja,

A substituição das Eqs. (48), (49), (53) e (54) na Eq. (45) dá a solução para este problema, isto é,

onde os valores de e foram calculados e expressos pelas Eqs. (23), (24), (30) e (31), respectivamente. Para verificar, diretamente, que a Eq. (55) é a solução da Eq. (3), tomemos sua segunda derivada temporal:

isto é,

Das Eqs. (9) e (16) segue que

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei a Eq. (18) para simplificar a notação. Analogamente, das Eqs. (10) e (17) segue que

Substituindo as Eqs. (57) e (58) na Eq. (56) resulta em

isto é,

que, usando a Eq. (55), fornece

que é a Eq. (3), onde usei a Eq. (18) novamente.

😎

Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Prelude in D minor Op. 28 No. 24 de Frédéric Chopin, por Robert Ståhlbrand

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2 Comments for Dois osciladores harmônicos acoplados

  1. Wagner Moreira Pereira said,

    setembro 13, 2013 @ 13:32

    Oi, boa tarde.
    Achei sua resolução interessante. Sou aluno do curso de licenciatura em física da UFRJ na modalidade EAD e estou fazendo a disciplina de mecânica clássica neste semestre e gostaria de, se possível, ver uma resolução deste mesmo problema usando o método Lagrangeano. Ou se me você poderia me indicar uma boa bibliografia, pois nas que eu vi até agora, algumas passadas são omitidas.
    Desde já, agradeço a atenção.
    Tenha uma boa tarde e um bom final de semana.

  2. reginaldo said,

    setembro 16, 2013 @ 7:08

    Olá Wagner,
    Gratíssimo deveras pelo seu comentário!
    O método lagrangeano vai ajudar para formular o problema, mas, na hora de resolver, você vai ter as mesmas equações que estou resolvendo nesta postagem. O jeito que fiz para resolver as equações não é o único jeito, mas talvez seja o mais rápido e direto, além auto-suficiente. Uma boa referência para a formulação lagrangeana de osciladores acoplados é o livro de mecânica clássica do Goldstein, que é muito conhecida nos cursos de física. Espero ter ajudado.

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