Dois osciladores harmônicos acoplados sem matrizes

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Na postagem sobre dois osciladores acoplados resolvi o sistema de equações diferenciais acopladas usando uma descrição matricial. Como é reconhecido o fato de que nem todo estudante de graduação sabe lidar com matrizes sem ter pânico, vou resolver o mesmo problema aqui sem usar matrizes. As duas equações diferenciais que queremos resolver são escritas como

e

onde e são constantes reais positivas. O objetivo nesta postagem não é simplesmente uma ginástica matemática, o que almejamos é o objetivo muitíssimo prático de desacoplar as Eqs. (1) e (2). Para resolver esse sistema de equações acopladas, a única coisa que podemos fazer é multiplicar a Eq. (1) por uma constante, digamos multiplicar a Eq. (2) por outra constante, digamos e, finalmente, somar as duas equações resultantes na esperança de obter uma equação independente. Então, procedendo como acabei de descrever, obtemos

isto é,

A Eq. (3) só pode ser considerada desacoplada se no seu membro direito aparecer a mesma variável, que aparece no seu membro esquerdo. No membro direito já temos uma combinação linear de e e, portanto, basta exigirmos que

onde é uma constante de proporcionalidade. Com a Eq. (4), podemos reescrever a Eq. (3) assim:

cuja solução podemos encontrar em termos de mas vou deixar essa parte para depois. Como a Eq. (4) deve ser válida para todos os valores que e podem assumir ao longo de sua evolução temporal, devemos ter

e

Note que nem nem pode ser zero; caso contrário, se for zero, por exemplo, então a Eq. (3) fica igualzinha a Eq. (2), só que multiplicada por nos dois membros. Como e não são zero, podemos resolver para a Eq. (7), isto é,

substituir o resultado na Eq. (6), ou seja,

e, depois, dividir ambos os membros por

Podemos rearranjar a Eq. (8) para obter uma equação quadrática para isto é,

ou seja,

ou ainda,

que pode ser também escrita como

cujas soluções algébricas são

e

onde, como na postagem sobre dois osciladores acoplados tratados matricialmente, definimos

para simplificar a notação. Podemos reescrever a Eq. (11) da seguinte forma:

isto é,

ou seja,

que mostra que é uma grandeza real. Além disso, veja que o número no radical da Eq. (11) é positivo, pois é o mesmo número do radical da Eq. (12). Então, por sua vez, a Eq. (11) mostra que tem o módulo menor do que a soma dos dois primeiros termos aparecendo em cada uma das Eqs. (9) e (10). Isso implica que e são ambos números reais positivos. Como temos duas soluções possíveis para a constante segue das Eqs. (6) e (7) que teremos duas soluções para e para isto é, teremos definindo e e definindo e Como o sistema formado pelas Eqs. (6) e (7) é indeterminado para cada um dos valores de segue que podemos tomar, por exemplo, e concluir, da Eq. (6), que

e

Usando a Eq. (5), então, concluímos que

e

que são duas equações diferenciais desacopladas, uma na variável e outra na variável

Para simplificar as contas, sejam

e

As Eqs. (15) e (17) fornecem

cuja solução geral é dada por

onde e são constantes a ser determinadas a partir das condições iniciais, conforme o procedimento seguinte. Então, tomemos a derivada temporal da Eq. (19):

Em as Eqs. (19) e (20) fornecem

onde usei a Eq. (17) em e

que dá

onde usei a derivada temporal da Eq. (17) em De forma análoga, as Eqs. (16) e (18) fornecem

onde e são determinadas pelas condições iniciais assim:

e

Para escrevermos a resposta final, agora só falta invertermos as Eqs. (17) e (18) e obtermos e em termos de e Para tanto, basta multiplicarmos a Eq. (17) por isto é,

multiplicar a Eq. (18) por ou seja,

e subtrairmos uma da outra, resultando em

ou ainda,

Substituindo a Eq. (26) na Eq. (17) dá

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Agora a explicitação da solução deste problema é obtida diretamente de substituições. Então, substituindo as Eqs. (19) e (23) na Eq. (26) dá

isto é,

onde substituí as Eqs. (21), (22), (24) e (25). Substituindo as Eqs. (19) e (23) na Eq. (27) dá

isto é,

onde substituí as Eqs. (21), (22), (24) e (25).

Vou agora mostrar que a solução apresentada na postagem sobre dois osciladores acoplados pelo método matricial, isto é,

é a mesma da presente postagem. Efetuando a multiplicação matricial indicada na Eq. (30), obtemos

e

Para podermos comparar essas equações com os resultados da presente postagem, note que, na postagem sobre dois osciladores acoplados pelo método matricial,

pela Eq. (10),

pela Eq. (9),

pela Eq. (14) e

pela Eq. (13). Com essas correspondências, podemos reescrever a Eq. (31) como

Note agora que, pelas Eqs. (9), (10), (11), (12), (13) e (14), segue que

Substituindo a Eq. (34) na Eq. (33) dá

que é exatamente a Eq. (28). Trocando os nomes das constantes na Eq. (32), obtemos

que, usando a Eq. (34), dá

isto é,

que é exatamente a Eq. (29).

😎

Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Impromptu in B-flat minor Op. 12 de Alexander Scriabin, por Sandro Bisotti

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