Distribuições estáveis

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Imagine uma pessoa com suas duas pernas perfeitamente simétricas. Não só isso: imagine que essa pessoa tenha também toda a musculatura dos membros inferiores exatamente simétrica, isto é, o que o lado direito tem, o lado esquerdo tem igualzinho! 🙂 Vamos batizar essa pessoa de A. Pessoa. O Sr. Pessoa tem, portanto, da cintura para baixo, perfeita simetria de reflexão por um plano que imaginariamente o divide em um lado esquerdo e um lado direito. Vamos supor que esse moço tenha o resto do corpo também simétrico o suficiente para que qualquer pequena diferença, da cintura para cima, não modifique a simetria em sua habilidade de mover as pernas. (Afinal, o Sr. Pessoa pode usar um relógio de pulso ou mesmo pentear os cabelos de forma assimétrica. 🙂 ) Nesse caso, cada passo que dá tem uma probabilidade de ter o comprimento seja com a perna esquerda ou com a direita. Cada passo tem um comprimento aleatório, pois ninguém repete exatamente o mesmo passo. Por exemplo, o comprimento do passo depende do terreno e de diversas variáveis fisiológicas. No entanto, os movimentos de cada uma das pernas, sendo igualmente produzidos, implicam mesmas probabilidades para os comprimentos de passos esquerdos e direitos. Seja o comprimento do primeiro passo com a perna direita e seja o comprimento do passo seguinte, com a perna esquerda. Depois de dois passos, a distância que o Sr. Pessoa percorre é a soma dessas duas variáveis estocásticas: As distribuições de probabilidades para os passos direito e esquerdo são dadas pela mesma função: Sabendo isso, como fica a distribuição de probabilidades para que, após dois passos, um direito e um esquerdo, o Sr. Pessoa percorra 😕 As considerações seguintes intencionam responder essa pergunta e introduzir o conceito de distribuições estáveis de probabilidades. 😎

Traveling Man "Walking Tall"
“Traveling Man “Walking Tall” by nffcnnr, on Flickr”

O que segue é uma elaboração inspirada em meus estudos sobre o que ensinam Rosario Nunzio Mantegna e H. Eugene Stanley em seu livro sobre econofísica. Consideremos uma distribuição lorentziana:

onde é uma constante de normalização e é uma constante real positiva. Calculemos

ou seja,

pois uma distribuição de probabilidades, quando integrada sobre todo o espaço amostral, deve ser igual à unidade. A integral no denominador pode ser calculada se simplificarmos seu integrando:

Não acredita? Basta calcular

Viu? 😎

Agora, podemos utilizar o seguinte truque:

Consideremos o contorno no plano complexo da figura abaixo:

Contorno de integração

É fácil provar que vale o limite:

Usando o teorema dos resíduos, vem:

Logo,

Também temos (Um bom exercício! 😀 ):

Consequentemente,

isto é,

e, portanto,

A densidade de probabilidade que vamos considerar, normalizada, fica, portanto,

Sigamos agora um procedimento análogo ao utilizado na postagem sobre o teorema central do limite de distribuições probabilísticas: consideremos a variável

e calculemos a densidade de probabilidade para quando e são variáveis estocásticas independentes, identicamente distribuídas segundo a distribuição lorentziana, isto é,

Assim, como na postagem sobre o teorema central do limite de distribuições probabilísticas, podemos escrever

É mais simples considerarmos a transformada de Fourier de também chamada de função característica da densidade de probabilidade

isto é,

e, portanto,

Calculemos a transformada de Fourier, ou a função característica, da lorentziana

isto é,

Aqui devemos considerar dois casos: e No primeiro caso, temos

No segundo caso,

Em todo caso, portanto,

Logo,

Para obtermos a distribuição da variável basta calcularmos a transformada de Fourier inversa:

isto é,

ou seja,

e, portanto,

Logo, a densidade de probabilidade para a variável é também lorentziana, com apenas uma mudança de escala, isto é,

Dizemos, nesse caso, que a densidade de probabilidade lorentziana é uma distribuição estável, pois sua convolução resulta na mesma distribuição, com apenas uma mudança de escala. 😎

A distribuição gaussiana também é estável. Para verificarmos isso, tomemos

e consideremos a distribuição da variável

A função característica correspondente é dada por

Mas,

isto é,

ou seja,

e, portanto,

Tomando a transformada de Fourier inversa, obtemos a densidade de probabilidade para a variável

isto é,

e, assim,

que também é uma gaussiana, porém com uma escala diferente, ou seja,

Logo, a distribuição gaussiana também é estável. 😎

Depois de estudar esses dois exemplos, podemos perguntar: quais são as distribuições estáveis? 😕 Existem outras? 😕 As respostas a essas questões foram dadas por Paul Pierre Lévy (há fotos) e Aleksandr Khinchin nas décadas de 1920 e 1930. Segundo o livro de Mantegna e Stanley, eles descobriram que a forma mais geral de uma função característica de um processo estável é dada por

onde

é um fator de escala positivo, é um número real qualquer (valor esperado) e é um parâmetro de assimetria que varia no intervalo de a O livro de Mantegna e Stanley afirma que só são conhecidas as formas analíticas das distribuições de Lévy (processos estocásticos de Lévy) com os parâmetros:

  • e (distribuição de Lévy-Smirnov);
  • e (distribuição lorentziana);
  • (distribuição gaussiana).

O livro então informa que, no caso simétrico, isto é, quando e com média zero, ou seja, , a distribuição estável, para muito grande, tem a forma assintótica:

Uma consequência importante desse resultado é que o valor esperado de

diverge para

quando Assim, em particular, todos os processos estáveis de Lévy com têm variâncias infinitas. Por exemplo, a distribuição lorentziana, isto é,

dá uma variância infinita:

ou seja,

Baseado nesses estudos, a distribuição do tamanho de passos do Sr. Pessoa é estável? 😕 Vejamos: a variância não é infinita, pois o Sr. Pessoa, como qualquer outra pessoa, jamais daria um passo sequer de comprimento infinito. Logo, a distribuição dos passos não pode ter uma variância infinita. Então, se a distribuição dos passos do Sr. Pessoa for estável, não poderá ter e, se for estável, terá e, portanto, será uma gaussiana! 😎 Nada pode ser dito, com base no que apresentei aqui, sobre o caso em que os passos do Sr. Pessoa sejam distribuídos de forma não estável. Mas aposto na gaussiana! 😎

Música desta postagem: Piano Concerto No. 21 in C Major (Andante) de Wolfgang Amadeus Mozart, por Roberto Carnevale

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

 

 

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for Distribuições estáveis

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.