Dispersão de um pacote de ondas livres

Nos cursos introdutórios de mecânica quântica há sempre o problema da dispersão do pacote de ondas gaussiano para partícula livre, quando evolui segundo a equação de Schrödinger. Normalmente, esse problema é abordado de forma muito superficial e rapidamente, pois requer muito trabalho algébrico para poder ser resolvido completamente. Nesta postagem vou apresentar todas as passagens do cálculo para o caso unidimensional. Minha intenção é que este material sirva de referência a você, estudante de mecânica quântica, mesmo quando for trabalhar em problemas correlatos mais avançados, como é o caso da teoria de espalhamento, cujos livros-texto normalmente fazem uso dos resultados que aqui apresento, mas apenas en passant.

Seja um pacote de ondas gaussiano unidimensional, normalizado, dado por

na representação de momentum. Para você conferir que a normalização da Eq. (1) está correta, aplique o resultado da postagem Integral da gaussiana à integral do quadrado do módulo de

Note que é uma constante e, portanto, não muda seu valor no integrando, conforme a variável vai sendo integrada. Você prontamente encontrará que o valor da integral na Eq. (2) é igual a um. Como exercío adicional, você pode verificar que o valor esperado do momentum, segundo a função de onda da Eq. (1), é dado por:

A incerteza do momentum, de acordo com a função de onda definida pela Eq. (1), também é facilmente verificada como sendo dada por:

Você pode estar se perguntando por que razão comecei com um pacote na representação de momentum. Como é típico da teoria de colisões, uma partícula é preparada para atingir um alvo com um dado momentum inicial. Só que, como tudo na vida, a preparação não é perfeita e, após esse processo, a partícula acaba tendo um valor esperado de momentum, com uma incerteza Para simplificar, aproximamos esse estado inicial com uma gaussiana, em analogia ao Teorema Central do Limite. Tipicamente, em estatística, demonstramos que a média aritmética de uma longa sequência de valores de uma variável aleatória se distribui quase sempre como uma gaussiana, mesmo que a particular distribuição da variável não seja gaussiana. Digo, “quase sempre”, porque a distribuição de probabilidade da variável aleatória deve ter todos os seus momentos finitos para o teorema valer. Veja, por exemplo, minha postagem O teorema central do limite de distribuições probabilísticas. No entanto, dependendo do processo de preparação da partícula, o pacote de ondas não é, necessariamente, gaussiano. Uma vez dito isto, para simplificar vamos tratar o caso gaussiano, que é o melhor possível, pois é o pacote de ondas de mínima incerteza, como pode ser visto, por exemplo, no link: http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/minimum\_unc.htm} (um dia ainda faço essa conta explicitamnte aqui no Nerdyard).

Outro exercício muito instrutivo para você fazer é mostrar que a transformada de Fourier da Eq. (1) é dada por:

onde

Veja que a Eq. (6) é a relação de incerteza entre e para pacotes gaussianos, quando a igualdade vale. Veja também que os membros da Eq. (5) não estão normalizados. Com a normalização de ambos os membros da Eq. (5) obtemos:

onde usamos a Eq. (6) e definimos a função de onda na representação da posição como é usual:

Note a presença, na Eq. (7), da exponencial multiplicando a gaussiana. Caso a partícula fosse preparada com valor esperado de momentum nulo, isto é, esse fator exponencial não apareceria. Note que esse fator não é constante, pois a variável conjugada a aparece no argumento da exponencial.

Outro fato digno de nota sobre o estado representado pela Eq. (8) é que não é um auto-estado da hamiltoniana de partícula livre, como podemos facilmente verificar. Para isso, basta tomar a hamiltoniana seguinte:

onde é o operador momentum, e aplicá-la à esquerda do ket cuja projeção no ket dá função de onda da Eq. (8), isto é,

Então:

Só para recordar você das sutilezas notacionais, é o operador e é seu auto-valor no estado Olhando a Eq. (8), vemos que a função de onda é dada em termos de uma superposição linear das funções de onda plana:

isto é, podemos reescrever a Eq. (8) como:

usando a Eq. (12). Mas, segundo a Eq. (10), a Eq. (13) também pode ser rearranjada assim:

Como a Eq. (14) deve ser válida para todos os bras segue dessa equação que:

Logo, substituindo a Eq. (15) na Eq. (11) resulta em:

já que os kets são auto-estados do operador Veja que os números que apareceram no integrando da Eq. (16) não podem ser fatorados para a esquerda do sinal de integração, no segundo membro dessa equação. Portanto, não é possível escrever como uma constante multiplicando o estado provando que este não é um auto-estado de

Passemos agora à evolução temporal do estado Sabemos que o operador evolução é dado por:

Então, aplicando o operador da Eq. (17) no estado da Eq. (15), vem:

Mas, você certamente se lembra que:

onde utilizamos a Eq. (9) e o fato de que

cuja iteração repetida resulta em:

A Eq. (19) pode ser reescrita em termos de uma exponencial, ao invés de um somatório, e, assim:

A substituição da Eq. (22) de volta na Eq. (18) fornece:

Note que é o instante em que a evolução temporal, a partir do estado começa. Para simplificar a notação, vamos definir a variável dada por:

A função de onda como função do tempo é dada em termos das Eqs. (12), (23) e (24) como:

Substituindo a Eq. (1) na Eq. (25) resulta na transformada de Fourier que precisamos calcular:

Veja agora o argumento da função exponencial da Eq. (26):

isto é,

ou seja,

onde, para simplificar, definimos as constantes complexas:

e

Podemos ainda completar o quadrado do segundo membro da Eq. (27):

isto é,

Colocando a Eq. (30) de volta na Eq. (26) vem:

O resultado da integral da Eq. (31) é análogo ao da integral real da postagem Integral da gaussiana e, portanto, ficamos com:

Podemos explicitar as quantidades e no argumento da exponencial da Eq. (32) utilizando as Eqs. (28) e (29):

Agora vamos multiplicar o numerador e o denominador do quociente obtido na Eq. (33) pelo complexo conjugado do denominador, para obter:

Estamos manipulando essas equações para fazer com que o resultado final, para o pacote de ondas, seja expresso como é usual nos livros-texto, isto é, como uma gaussiana que se desloca com velocidade multiplicada por uma onda plana que se desloca com velocidade . Enfim, com vistas a chegar nessa resposta convencional, vamos multiplicar o numerador e o denominador da Eq. (34) por obtendo:

Efetuando algumas operações algébricas, é possível simplificar um pouco o numerador da Eq. (35):

isto é:

ou seja:

ou ainda:

Finalmente, a Eq. (36) pode ser simplificada para ficar na forma que procurávamos encontrar:

Substituindo a Eq. (37) de volta na Eq. (32) fornece:

onde também usamos a Eq. (28) e como definido na Eq. (24).

Só para verificar, veja que quando tomamos na Eq. (38), obtemos novamente a Eq. (7), como deveria ser. Tomemos agora o módulo ao quadrado da Eq. (38):

Integrando a Eq. (39) dá:

mostrando que está normalizada, também como deveria ser.

O pacote dependente do tempo se alarga, pois podemos ver que a incerteza associada com a variável como função do tempo, é dada por:

onde usamos a Eq. (6). A distribuição gaussiana da Eq. (39) se propaga no sentido positivo de com velocidade de grupo dada por (supondo que ). Já a função de onda da Eq. (38) tem um fator que é uma onda plana que se propaga com a velocidade de fase dada por conforme já havíamos adiantado acima. Note também, na Eq. (41), que a incerteza da variável ou posição, é mínima para sendo que o pacote se dispersa tanto para como para É relevante também mencionar que o efeito do alargamento para tempos anteriores ao instante de preparação, é sem significado, pois não havia pacote então.

😎

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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2 Comments for Dispersão de um pacote de ondas livres

  1. José Victor said,

    agosto 16, 2014 @ 7:30

    Caro Reginaldo,

    Acabei me tornando fã desse seu nerdyand.com! Pois suas postagens são espetaculares, claras e detalhadas. E, certamente, muito úteis para seus estudantesw, ou não.
    Leio todas – e não apenas contemplativamente – com muita atenção.
    Gostaria, contudo, que, se possível, iniciasse postagens acerca de relatividade geral, se é que esta é sua área de atuação. Caso contrário, tudo bem. O que o amigo faz já está de tamanho muito maior do que posso absorver.

    Abraços e, mais uma vez, parabéns pela dedicação à causa da divulgação científica, sobretudo neste formato técnico.

    JVictor.

  2. reginaldo said,

    agosto 17, 2014 @ 12:26

    Olá José Victor,
    Grato deveras pelo seu comentário elogioso! É desse tipo de feedback que o Nerdyard se alimenta para permanecer vivo e ativo! Enquanto eu souber que há quem aprecia o site, estarei estimulado a continuar essa aventura!
    Eu não atuo em relatividade geral, mas em mecânica quântica básica. No entanto, ultimamente meus interesses em teoria de informação quântica têm me levado a considerar certos aspectos da relatividade geral. Então, aguarde, pois estamos caminhando para introduzir, de forma elementar, tópicos de relatividade geral também.
    Novamente agradeço sua consideração, interesse e feedback!
    Valeu!
    Abraços!

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