Coordenadas polares

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Seja o vetor posição de uma partícula de massa representado por Se a partícula se move, então seu vetor posição depende do tempo, isto é,

onde representamos a coordenada temporal pela variável real Para aplicar a segunda lei de Newton precisamos da aceleração da partícula e, portanto, devemos calcular a segunda derivada temporal do vetor posição da partícula:

Em coordenadas cartesianas, o vetor posição é simplesmente escrito como

onde e são as coordenadas cartesianas do vetor posição e e são os versores respectivamente ao longo dos sentidos dos eixos e . Note que você não deve confundir as coordenas, e , com os nomes dos eixos e ; as coordenadas mudam de valor e dependem do tempo, pelo menos no presente caso, enquanto os eixos tem apenas nomes e e esses nomes não mudam. Concordo que isso fica um pouco confuso, mas com o tempo acabamos acostumando. A figura abaixo mostra uma representação gráfica do que estamos falando.

Sistema cartesiano de coordendas

Em coordenadas cartesianas, portanto, porque as coordenadas dependem do tempo, isto é,

e

mas os versores são fixos no espaço e, assim, não dependem do tempo, não importa como o vetor posição possa mover-se, então a aceleração da partícula de massa fica

Para simplificar a compreensão do que estamos estudando, vamos agora particularizar o problema para o caso em que a partícula de massa move-se apenas no plano sempre com a coordenada igual a zero. Nesse caso, o vetor posição escreve-se

e a aceleração fica

A próxima figura ilustra esse caso mais simples.

Sistema cartesiano de coordenadas. Caso bidimensional.

Em coordenadas polares no plano definimos novos versores, e e novas coordenadas, e É mais fácil vermos como o versor é definido, pois é apenas o vetor posição dividido por seu módulo

Conforme indica a figura a seguir, as coordenadas cartesianas, e podem ser escritas em termos das coordenadas polares, e assim:

e

Coordenadas polares
Logo,

e, portanto,

Note que como, para um movimento arbitrário no plano a coordenada angular depende do tempo, então o versor também é uma função do tempo. Da definição do versor segue que o vetor posição pode ser escrito como

Em coordenadas polares, o vetor velocidade, dado por

escreve-se, então,

que, pela regra da derivada do produto de duas funções dependentes do tempo, resulta em

Como acabamos de ver que

sua derivada temporal dá

Da regra da cadeia para derivadas decorre que

e

Definamos a velocidade angular como

Note também que é uma função do tempo se houver aceleração do ângulo isto é,

Com tudo isso em mente, podemos agora concluir que a derivada

também pode ser escrita como

isto é,

ou seja,

Note agora que apareceu, naturalmente, um vetor que é, na verdade, um versor e vamos denotá-lo por

Assim,

O vetor é um versor porque, obviamente,

Note também que o versor é ortogonal ao versor radial

Mais ainda, veja que o versor nada mais é senão o próprio versor rodado mais para além do ângulo Para vermos isso, façamos

Mas,

e

Logo,

Com esses resultados, a velocidade da partícula pode agora ser escrita como

Veja que o termo ao longo da direção do versor é a chamada componente radial da velocidade e o termo ao longo da direção do versor é a chamada componente tangencial da velocidade. A figura a seguir ilustra graficamente os versores e

Versores angulares

E a derivada do versor ? Agora é fácil:

isto é,

Sabendo as derivadas primeiras dos versores e permite-nos encontrar suas derivadas segundas:

e

onde definimos a aceleração angular como

Agora que já conhecemos os versores e e suas primeiras e segundas derivadas temporais, podemos calcular a aceleração em coordenadas polares de uma partícula de massa e vetor posição

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Assim,

Como exemplos particulares, consideremos dois casos. Se o movimento for sobre uma circunferência, então a distância radial será constante e suas derivadas anular-se-ão. Nesse caso, a aceleração ficará

Se o movimento for circular uniforme, não haverá aceleração angular e a aceleração será igual à chamada aceleração centrípeta:

onde, nesse caso, e são constantes.

Espero que esta postagem possa ter proporcionado a você algum esclarecimento sobre um assunto muitas vezes complicado no início. A noção de derivada é sempre recente para estudantes do primeiro ano de graduação e uma abordagem como esta pode trazer dificuldades. Além de Cálculo Diferencial, a disciplina chamada Geometria Analítica pode ajudar muito para o entendimento da presente postagem. Se você acha que algum trecho está demasiado obscuro, deixe-me um comentário e tentarei torná-lo mais claro.

😎

Música desta postagem: Waltz No. 19 in A minor (1847) de Frédéric Chopin, por Neil Martinez

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12 Comments for Coordenadas polares

  1. Josi said,

    dezembro 3, 2010 @ 23:16

    Oi Boa noite,
    percebo que você tem uma grande percepção na área geométrica.
    Será que poderia me ajudar com um trabalho: Situações de cálculo de distâncias na agrimensura?
    obrigada

  2. reginaldo said,

    dezembro 16, 2010 @ 10:38

    Olá Josyane15,
    Grato deveras pelo seu elogio. Tenho tido alguns anos muito geométricos em minha vida. No entanto, não entendo nada de agrimensura. Mas, ainda assim, agradeço deveras por ter comentado.

  3. Gabriel said,

    fevereiro 15, 2011 @ 2:07

    Olá, obrigado, ficou muito bem explicado e me esclareceu algumas dúvidas que ficaram no decorrer do estudo. Muito bom o post, mais uma vez, obrigado.

    P.S.: Tornei-me um visitante frequente,agora.

  4. reginaldo said,

    fevereiro 18, 2011 @ 11:08

    Olá Gabriel,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos elogios. Fico realmente feliz podendo esclarecer algumas de suas dúvidas!
    Grato deveras também por visitar frequentemente meu blog.

  5. Luis Paulo Morais Lima said,

    abril 3, 2011 @ 1:43

    Olá, Reginaldo. Tenho estudado dinâmica e encontrei o seguinte:

    Contudo, não consigo entender como se chega nisso. Poderia me ajudar?
    Obrigado.

  6. reginaldo said,

    abril 4, 2011 @ 10:21

    Olá Luis Paulo Morais Lima,
    Grato deveras pelo seu comentário. Para obter o que você quer, basta tomar

    e

    e derivar com relação a Não há mais nada além disso. Veja:

    e

  7. Lucas Nogueira de Sá Martins said,

    dezembro 9, 2011 @ 12:23

    como transpor dx.dy em coordenadas polares?

  8. reginaldo said,

    dezembro 27, 2011 @ 14:44

    Olá Lucas,
    Grato deveras pelo seu comentário. Um elemento de área em coordenadas polares você pode escrever como um pequeno retangulozinho (aproximadamente). Ao longo da direção radial, tome um segmento de tamanho . Fazendo com esse segmento, tome outro segmento de comprimento . Pronto, multiplicando os dois segmentos que formam os lados de um pequenino retângulo, você tem o elemento de área em coordenadas polares: . Veja que se você integrar até um raio , em toda a volta da circunferência unitária, você obtém a área de um círculo de raio :

    Espero que isso ajude.

  9. Lucas Magali Rodrigues Peres said,

    agosto 27, 2012 @ 16:02

    Simples, prático e fácil. Uma das melhores explicações sobre versores dependêntes do tempo que já li. Obrigado Professor =D

  10. reginaldo said,

    agosto 29, 2012 @ 11:46

    Olá Lucas,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelo estímulo! Valeu mesmo! É o intuito do Nerdyard poder servir você! Valeu!

  11. lucas emanuel said,

    junho 12, 2014 @ 3:33

    Olá Reginaldo, ótima a sua explicação sobre versores e coordenadas polares.

    Gostaria de saber uma forma de mostrar que o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração permanece constante numa trajetória espiral pela movimentação para fora de uma partícula com coord . polares r= be^kt e =ct , pois não estou conseguindo.

  12. reginaldo said,

    junho 13, 2014 @ 17:04

    Olá Lucas Emanuel,
    Grato deveras pela sua mensagem e pelo seu interesse! Valeu mesmo o elogio! É isso que me dá ânimo para manter estas postagens!
    Quanto à sua pergunta, é um pouco trabalhoso, mas não é difícil. Vamos lá.

    Você me deu as equações para sua espiral:

    e

    Em coordenadas polares, como nesta postagem, a velocidade é dada por

    onde e a aceleração é dada por

    onde Para obter o ângulo entre e fazemos o produto escalar entre esses dois vetores e obtemos

    Mas,

    conde é o ângulo entre e Então, devemos calcular

    Substituindo a Eq. (5) na Eq. (7), traz

    substituindo as Eqs. (1) e (2) nas Eqs. (3) e (4) dá

    e

    Calculemos o módulo de Da Eq. (9), vem

    Agora, vamos calcular o módulo de Da Eq. (10), segue que

    Agora vamos substituir as Eqs. (11) e (12) na Eq. (8). Obtemos:

    Substituindo a Eq. (1) na Eq. (13) dá

    que é constante, pois e são constantes.

    Espero que isso ajude!

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