Coordenadas esféricas

Para problemas envolvendo simetria esférica é natural usarmos coordenadas esféricas. Nesta postagem apresentamos uma definição dessas coordenadas com ilustrações detalhadas. Também definiremos o conjunto de versores ortogonais que são calculados em cada ponto do espaço, cada um indicando a direção e o sentido de crescimento de cada uma das três respectivas coordenadas esféricas.

Suponhamos um ponto no espaço tridimensional. Seja o ponto onde escolhemos a origem de nosso sistema de referência. Com esses dois pontos podemos definir o vetor posição com sentido que aponta de a e, portanto, com a direção que é paralela à reta que passa por esses dois pontos. O módulo desse vetor, é escolhido como a distância entre e Essa distância é a coordenada esférica radial, como indica figura abaixo.

Agora podemos escolher três eixos cartesianos, e e a coordenada esférica polar, é definida como o ângulo compreendido entre o eixo e o vetor posição como na figura abaixo. Note que, em analogia com astronomia, o eixo no polo norte, aponta para o zênite.

Veja que podemos desenhar uma superfície esférica de raio centrada na origem e que, portanto, contém o ponto A curva de menor comprimento que vai do polo norte até o ponto sobre essa superfície esférica, mede como ilustra a figura a seguir. Essa curva é um arco de circunferência centrada em com raio

Podemos agora projetar o ponto sobre o plano e obter o ponto como na figura que segue. Veja que a distância da origem até o ponto é dada por

A coordenada azimutal, é o ângulo compreendido entre o eixo e o segmento de reta como na próxima figura.

Podemos definir três versores mutuamente ortogonais, cada um com a direção e o sentido de crescimento de cada uma das coordenadas esféricas. A figura abaixo mostra o versor radial ao longo da direção e do sentido do vetor posição Veja que, para qualquer ponto o ângulo sempre cresce na direção ortogonal ao versor radial. A figura a seguir também mostra o versor apontando na direção e no sentido de crescimento do ângulo

O versor com direção e sentido de crescimento do ângulo azimutal é paralelo ao plano e é ortogonal ao plano que é paralelo ao vetor posição e ao eixo como ilustrado na próxima figura. Como esse versor, é uma função do ponto a figura também mostra uma instância de transladada até o ponto Veja que vetores não são setas, mas sim classes de equivalência de setas. Uma seta desenhada a partir de um ponto apenas representa um vetor. Logo, qualquer seta desenhada a partir de qualquer ponto, se tiver a mesma direção e o mesmo sentido que um dado vetor, então essa seta representa o vetor, que é um conjunto todo de setas equivalentes. Duas setas são equivalentes quando têm a mesma direção e o mesmo sentido.

Veja que o versor é normal à superfície esférica no ponto enquando que os versores e são tangentes à superfície esférica no ponto como mostra a figura abaixo.

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