Conservação de energia para um sistema de partículas

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Na postagem sobre a energia gravitacional de um sistema de partículas, mostrei que a energia potencial gravitacional de partículas de massas é dada por

com sobrescrito que será explicado logo a seguir. Veja que essa energia potencial é uma função de todas as coordenadas das partículas, isto é,

Veja também que a força sobre a -ésima partícula, devida às demais, é dada pelo gradiente de com relação às coordenadas de seu vetor posição,

Note que escrevi e com sobrescrito para enfatizar que essas forças são internas, devidas às partículas do próprio sistema. Então,

Mas,

isto é,

ou seja,

onde é a delta de Kronecker. Substituindo esse resultado na expressão para a derivada parcial de com relação a obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Analogamente, portanto,

e

Com essas derivadas parciais, podemos agora escrever a força interna sobre a -ésima partícula:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Portanto,

como deve ser mesmo. Esse exemplo da força gravitacional sobre uma das partículas do sistema, exercida pelas demais, ilustra o caso de um sistema de partículas interagentes, duas a duas, com uma força conservativa. Nesse caso, a força interna sobre a -ésima partícula é dada por

No caso em que a força externa sobre a -ésima partícula também é conservativa, temos

onde é a energia potencial externa. Então, a força resultante sobre o sistema é dada por

onde é a energia potencial total:

Como a equação de movimento para a -ésima partícula é dada por

segue que

onde

Multiplicando escalarmente ambos os membros da equação de movimento por podemos escrever

isto é,

ou seja,

Note agora que

isto é,

Então,

Somando ambos os membros sobre vem

Mas veja que, como

segue, pela regra da cadeia para derivadas, que

Logo,

e, assim,

Com isso, definindo a energia cinética total do sistema como

vemos que a energia total, definida como

é conservada para forças internas e externas conservativas.

😎

Música desta postagem: Miroirs – Les oiseaux tristes de Maurice Ravel, por Felipe Sarro

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