Conservação da quantidade de movimento linear

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Vamos considerar um sistema cosistindo de partículas de massas com Cada partícula tem seu vetor posição Vou supor que a -ésima partícula faz uma força sobre a -ésima denotada por Todas essas forças entre as partículas do sistema serão chamadas de suas “forças internas”. É claro que cada uma das partículas pode estar sob a ação de uma força resultante de ações provenientes de fora do sistema, isto é, não correspondendo a nenhuma das forças que as outras partículas do sistema exercem sobre ela. Vou denotar a resultante das forças externas agindo sobre a -ésima partícula de Assim, teremos equações de movimento acopladas para resolver:

onde

é o momentum da -ésima partícula e é a resultante de todas as forças internas sobre a -ésima partícula:

A força resultante que a própria -ésima partícula exerce sobre ela mesma deve ser nula e, portanto, para simplificar a notação, vou definir

Com isso, agora podemos escrever.

Somando todas as equações de movimento membro a membro obtemos

isto é,

Seja

o momentum total do sistema de partículas e sejam

e

a força externa resultante e a força interna resultante, respectivamente. Então, a variação do momentum total do sistema pode ser escrita como

Mas, note que

Veja que podemos escrever a soma dupla assim:

já que os índices somados são “mudos” e, portanto, podem ser trocados por quaisquer outros índices desde que distintos. Observe que a ordem das somas pode ser trocada. Logo,

Então, nada nos impede de escrever o seguinte:

isto é,

Sabemos, da terceira lei de Newton, que

Logo,

Consequentemente,

Essa equação nos diz que a derivada temporal do momentum total do sistema é igual à resultante das forças externas agindo sobre o sistema. Caso a força externa resultante seja zero, o momentum total do sistema será conservado e vice-versa.

Centro de massa

Também é interessante definirmos o centro de massa do sistema de particulas. Seja o vetor posição do centro de massa, definido como

com denotando a massa total do sistema, isto é,

Veja que o centro de massa é uma média ponderada da posição das partículas e o peso de cada uma das posições é dado pela massa da partícula correspondente dividida pela massa total.

Além disso, também podemos notar que a velocidade do centro de massa é obtida tomando a derivada temporal de resultando em

isto é,

Logo, o momentum total nada mais é do que a massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa. Agora fica óbvio que a derivada do momentum total dá a massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa:

e, portanto,

Assim, a equação de movimento para o centro de massa do sistema é como a equação de movimento para uma partícula com a massa igual à massa total do sistema e sob a ação de uma força igual à força externa resultante, que age sobre todo o sistema de particulas.

😎

Música desta postagem: Prelude in D flat major Op. 28 No. 15 (“Raindrop”) de Frédéric Chopin, por John Robson

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